Per calcular el període de Io amb sis paràmetres osculants exactes, cal utilitzar la següent fórmula:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\]

On \(T\) és el període orbital, \(a\) és el semieix major de l'òrbita i \(\mu\) és el paràmetre gravitacional estàndard del cos central, en aquest cas, Júpiter.

Els sis paràmetres osculants que defineixen l'òrbita de Io són:

• El semieix major, \(a = 421800\) km
• L'excentricitat, \(e = 0.0041\)
• La inclinació, \(i = 0.036°\)
• El node ascendent, \(\Omega = 43.977°\)
• L'argument del perijovi, \(\omega = 84.129°\)
• L'anomalia mitjana, \(M = 203.488°\)

Aquests valors són vàlids per a l'època J2000.0¹.

Per trobar el valor de \(\mu\), podem utilitzar la següent relació:

\[\mu = GM\]

On \(G\) és la constant de gravitació universal i \(M\) és la massa de Júpiter. El valor de \(G\) és \(6.674 \times 10^{-11}\) m\(^3\) kg\(^{-1}\) s\(^{-2}\)\(^2\) i el valor de \(M\) és \(1.898 \times 10^{27}\) kg\(^3\). Per tant, el valor de \(\mu\) és:

\[\mu = 6.674 \times 10^{-11} \times 1.898 \times 10^{27} = 1.267 \times 10^{17} \text{ m}^3 \text{ s}^{-2}\]

Convertint les unitats de \(a\) i \(\mu\) a metres i segons, obtenim:

\[a = 421800 \times 10^3 \text{ m}\]

\[\mu = 1.267 \times 10^{17} \text{ m}^3 \text{ s}^{-2}\]

Substituint aquests valors a la fórmula del període, obtenim:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{(421800 \times 10^3)^3}{1.267 \times 10^{17}} \text{ s}}\]

\[T = 152853.5 \text{ s}\]

Per tant, el període de Io amb sis paràmetres osculants exactes és de 152853.5 segons, que equival a 42.46 hores.