La cinemàtica directa consisteix a determinar la posició i orientació de l'efector final d'un robot donat un conjunt d'angles de les articulacions.
Considerem un braç robòtic pla amb dues articulacions (2 graus de llibertat), \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \), i dos enllaços de longitud \( L_1 \) i \( L_2 \).
Les coordenades \( (x, y) \) de l'efector final es poden calcular utilitzant les següents fórmules:
\[ x = L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \]
\[ y = L_1 \sin(\theta_1) + L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \]
Suposem que \( L_1 = 3 \) unitats, \( L_2 = 2 \) unitats, \( \theta_1 = 30^\circ \) i \( \theta_2 = 45^\circ \).
Converteix els angles a radians:
\[ \theta_1 = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \, \text{radians} \]
\[ \theta_2 = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \, \text{radians} \]
Ara, calculem les coordenades \( (x, y) \):
\[ x = 3 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \]
\[ y = 3 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \]
Resolent:
\[ x \approx 3 \times 0.866 + 2 \times 0.2588 \approx 2.598 + 0.5176 \approx 3.1156 \, \text{unitats} \]
\[ y \approx 3 \times 0.5 + 2 \times 0.9659 \approx 1.5 + 1.9318 \approx 3.4318 \, \text{unitats} \]
Així, les coordenades de l'efector final serien aproximadament \( (3.12, 3.43) \) unitats.
La cinemàtica inversa consisteix a determinar els angles de les articulacions necessaris per aconseguir una posició donada de l'efector final.
Donat el mateix braç robòtic pla, si se'ns dóna una posició final \( (x, y) \), les equacions de la cinemàtica inversa són:
\[ \cos(\theta_2) = \frac{x^2 + y^2 - L_1^2 - L_2^2}{2 L_1 L_2} \]
Primer calculem \( x^2 + y^2 \):
\[ x^2 + y^2 = 3.12^2 + 3.43^2 = 9.7344 + 11.7649 = 21.4993 \, \text{unitats}^2 \]
Després calculem:
\[ \cos(\theta_2) = \frac{21.4993 - 9 - 4}{12} = \frac{8.4993}{12} \approx 0.7083 \]
I trobem \( \theta_2 \):
\[ \theta_2 = \cos^{-1}(0.7083) \approx 45^\circ \]
Després calculem \( \theta_1 \) amb:
\[ \theta_1 = \text{atan2}(y, x) - \text{atan2}\left(L_2 \sin(\theta_2), L_1 + L_2 \cos(\theta_2)\right) \]
Primer trobem \( \text{atan2}(y, x) \):
\[ \text{atan2}(3.43, 3.12) \approx 47.7^\circ \]
Després calculem les components:
\[ \sin(\theta_2) = \sin(45^\circ) \approx 0.7071 \]
\[ \cos(\theta_2) = 0.7083 \]
\[ \text{atan2}\left(2 \times 0.7071, 3 + 2 \times 0.7083\right) = \text{atan2}(1.4142, 4.4166) \approx 18^\circ \]
Finalment, calculem \( \theta_1 \):
\[ \theta_1 \approx 47.7^\circ - 18^\circ \approx 30^\circ \]
Ara sí que coincideixen amb els angles inicials donats a la cinemàtica directa. Això mostra que la posició donada per \( x \) i \( y \) és consistent amb els angles \( \theta_1 = 30^\circ \) i \( \theta_2 = 45^\circ \).
La fórmula que volem justificar és:
$$x^2 + y^2 = l_1^2 + l_2^2 + 2 l_1 l_2 \cos(\theta_2)$$
La llei dels cosinus en un triàngul qualsevol ens diu que:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$
On:
Per aplicar-ho al nostre cas, considerem un triàngul format pels dos segments del braç robòtic i la línia entre l'origen i l'extrem del braç.
Aquí, els costats del triàngul són:
L'angle entre els segments és \(\theta_2\). Aplicant la llei dels cosinus:
$$\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 = l_1^2 + l_2^2 - 2 l_1 l_2 \cos(\theta_2)$$
Aquesta fórmula és útil per determinar l'angle $$\theta_2$$ a partir de les coordenades i les longituds del braç robòtic.
Aquesta part és per calcular els angles a partir de les coordenades:
$$\theta_{1}=\arccos \left(\frac{2x}{2(l_{1}+l_{2} \cos (\theta_2))+2 l_{2} \sin (\theta_2)}\right)$$
Finalment, aquesta fórmula calcula l'angle \(\theta_1\) utilitzant el valor de \(x\), \(\theta_2\), i les longituds dels segments.
Per introduir les velocitats en el problema de la cinemàtica directa d'un braç robòtic de dues articulacions, necessitem calcular la velocitat de l'efector final a partir de les velocitats angulars de les articulacions. Aquest problema es resol mitjançant la cinemàtica diferencial i la matriu Jacobiana.
Donades les velocitats angulars de les articulacions \( \dot{\theta}_1 \) i \( \dot{\theta}_2 \), trobar les velocitats lineals \( \dot{x} \) i \( \dot{y} \) de l'efector final.
La matriu Jacobiana relaciona les velocitats de les articulacions amb les velocitats de l'efector final. Per un braç robòtic de dues articulacions, la Jacobiana \( J \) és una matriu \( 2 \times 2 \) que es defineix com:
\[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial x}{\partial \theta_2} \\ \frac{\partial y}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_2} \end{bmatrix} \]
On les derivades parcials es calculen a partir de les equacions de la cinemàtica directa:
\[ x = L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \]
\[ y = L_1 \sin(\theta_1) + L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \]
Derivem \( x \) i \( y \) respecte a \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \):
\[ \frac{\partial x}{\partial \theta_1} = -L_1 \sin(\theta_1) - L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \]
\[ \frac{\partial x}{\partial \theta_2} = -L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \]
\[ \frac{\partial y}{\partial \theta_1} = L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \]
\[ \frac{\partial y}{\partial \theta_2} = L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \]
La matriu Jacobiana es converteix en:
\[ J = \begin{bmatrix} -L_1 \sin(\theta_1) - L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & -L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \\ L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) & L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{bmatrix} \]
Les velocitats lineals \( \dot{x} \) i \( \dot{y} \) de l'efector final es poden obtenir multiplicant la Jacobiana per les velocitats angulars de les articulacions \( \dot{\theta}_1 \) i \( \dot{\theta}_2 \):
\[ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = J \cdot \begin{bmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{bmatrix} \]
On:
\[ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -L_1 \sin(\theta_1) - L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & -L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \\ L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) & L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{bmatrix} \]
Suposem:
Substituïm aquests valors a la matriu Jacobiana i multipliquem:
La Jacobiana es calcula com:
\[ J = \begin{bmatrix} -3 \times 0.5 - 2 \times 0.707 & -2 \times 0.707 \\ 3 \times 0.866 + 2 \times 0.707 & 2 \times 0.707 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5 - 1.414 & -1.414 \\ 2.598 + 1.414 & 1.414 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.914 & -1.414 \\ 4.012 & 1.414 \end{bmatrix} \]
Les velocitats lineals són:
\[ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.914 & -1.414 \\ 4.012 & 1.414 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.914 - 0.707 \\ 4.012 + 0.707 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3.621 \\ 4.719 \end{bmatrix} \]
Per tant, les velocitats lineals de l'efector final són \( \dot{x} \approx -3.621 \) unitats/s i \( \dot{y} \approx 4.719 \) unitats/s.
En aquest exemple, hem utilitzat la matriu Jacobiana per relacionar les velocitats angulars de les articulacions amb les velocitats lineals de l'efector final. Aquest enfocament de cinemàtica diferencial és essencial per controlar robots i per planificar moviments amb precisió.
D'acord, revisem el càlcul dels torques i forces amb les unitats del Sistema Internacional (SI). En SI, les unitats de:
Calcular els torques \( \tau_1 \) i \( \tau_2 \) necessaris per mantenir el braç en una configuració donada tenint en compte l'efecte de la gravetat.
Centre de masses del primer segment (enllaç 1):
La posició del centre de masses del primer enllaç en coordenades \((x_1, y_1)\) es calcula com:
\[ x_1 = \frac{L_1}{2} \cos(\theta_1) \] \[ y_1 = \frac{L_1}{2} \sin(\theta_1) \]
Centre de masses del segon segment (enllaç 2):
La posició del centre de masses del segon enllaç (tenint en compte la posició del primer segment) és:
\[ x_2 = L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2) \] \[ y_2 = L_1 \sin(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \sin(\theta_1 + \theta_2) \]
Les forces gravitational en les posicions dels centres de masses es donen per:
\[ F_{g1} = m_1 \cdot g \] \[ F_{g2} = m_2 \cdot g \]
Els torques generats per la força gravitacional sobre cada enllaç es poden calcular com el moment de força respecte a l’articulació.
Torque \( \tau_1 \) a la primera articulació:
\[ \tau_1 = m_1 \cdot g \cdot \left(\frac{L_1}{2} \cos(\theta_1)\right) + m_2 \cdot g \cdot \left[L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right] \]
Torque \( \tau_2 \) a la segona articulació:
\[ \tau_2 = m_2 \cdot g \cdot \left(\frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right) \]
Posicions dels centres de masses:
\[ x_1 = \frac{3}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 1.5 \times 0.866 \approx 1.299 \text{ m} \] \[ y_1 = \frac{3}{2} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 1.5 \times 0.5 \approx 0.75 \text{ m} \] \[ x_2 = 3 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{2}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \approx 3 \times 0.866 + 1 \times 0.2588 \approx 2.598 + 0.259 \approx 2.857 \text{ m} \] \[ y_2 = 3 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{2}{2} \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \approx 3 \times 0.5 + 1 \times 0.707 \approx 1.5 + 0.707 \approx 2.207 \text{ m} \]
Aquí tens la correcció detallada del càlcul del torque \(\tau_2\) utilitzant MathJax:Forces gravitacionals:
\[ F_{g1} = 1 \times 9.81 = 9.81 \text{ N} \] \[ F_{g2} = 1 \times 9.81 = 9.81 \text{ N} \]
Moments de força (Torques):
El torque \(\tau_1\) a la primera articulació es calcula considerant les forces que actuen sobre els dos enllaços:
\[ \tau_1 = 9.81 \times \left(\frac{3}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) + 9.81 \times \left(3 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{2}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right)\right) \] \[ \tau_1 \approx 9.81 \times 1.299 + 9.81 \times 2.857 \approx 12.74 + 28.06 = 40.80 \text{ Nm} \]
El torque \(\tau_2\) a la segona articulació es calcula només amb la contribució del segon enllaç:
\[ \tau_2 = 9.81 \times \left(\frac{2}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right)\right) \] \[ \tau_2 \approx 9.81 \times 0.2589 \approx 2.54 \text{ Nm} \]
Així que els torques calculats són:
Els torques calculats per mantenir el braç robòtic en la configuració donada, tenint en compte només l'efecte de la gravetat, són:
Aquest càlcul suposa que només es té en compte l'efecte de la gravetat i que no hi ha altres forces com friccions o forces dinàmiques. En aplicacions reals, caldria considerar altres factors com la fricció i les forces inercials.
A continuació, es mostra com dissenyar un controlador PID per un braç robòtic de 2 graus de llibertat (DOF) amb les dades que hem calculat prèviament.
Dissenyar un controlador PID per mantenir el braç robòtic en les posicions angulares desitjades \( \theta_1^{ref} \) i \( \theta_2^{ref} \).
L'error en cada angle és la diferència entre l'angle desitjat (referència) i l'angle actual:
\[ e_1(t) = \theta_1^{ref}(t) - \theta_1(t) \] \[ e_2(t) = \theta_2^{ref}(t) - \theta_2(t) \]
El controlador PID aplicat a cada angle té la següent expressió matemàtica:
Controlador PID per \( \theta_1 \):
\[ u_1(t) = K_p^1 \cdot e_1(t) + K_i^1 \cdot \int_{0}^{t} e_1(\tau) d\tau + K_d^1 \cdot \frac{d e_1(t)}{dt} \]
Controlador PID per \( \theta_2 \):
\[ u_2(t) = K_p^2 \cdot e_2(t) + K_i^2 \cdot \int_{0}^{t} e_2(\tau) d\tau + K_d^2 \cdot \frac{d e_2(t)}{dt} \]
On:
Els torques desitjats \( \tau_1^{des} \) i \( \tau_2^{des} \) per aconseguir les posicions angulares desitjades es poden calcular amb:
\[ \tau_1^{des} = u_1(t) \] \[ \tau_2^{des} = u_2(t) \]
Aquests torques es combinaran amb els torques calculats prèviament per compensar la gravetat i altres forces.
Els guanys PID (\( K_p \), \( K_i \), \( K_d \)) es poden ajustar mitjançant diferents mètodes com la prova i error, el mètode de Ziegler-Nichols, o l'optimització automàtica. A continuació es mostren uns valors de prova:
Amb aquests valors, els torques de control es calcularien així:
\[ u_1(t) = 10 \cdot e_1(t) + 1 \cdot \int_{0}^{t} e_1(\tau) d\tau + 0.1 \cdot \frac{d e_1(t)}{dt} \] \[ u_2(t) = 8 \cdot e_2(t) + 0.8 \cdot \int_{0}^{t} e_2(\tau) d\tau + 0.08 \cdot \frac{d e_2(t)}{dt} \]
Finalment, els torques calculats per mantenir el braç en la posició desitjada es poden expressar com:
\[ \tau_1 = \tau_1^{des} + \tau_1^{grav} \] \[ \tau_2 = \tau_2^{des} + \tau_2^{grav} \]
On \( \tau_1^{grav} \) i \( \tau_2^{grav} \) són els torques deguts a la gravetat calculats prèviament:
Així, els torques finals aplicats serien:
\[ \tau_1 = u_1(t) + 40.80 \] \[ \tau_2 = u_2(t) + 12.74 \]
Mitjançant l'ús del control PID, es pot aconseguir que el braç robòtic arribi i mantingui les posicions angulares desitjades tot compensant la gravetat i altres forces externes. L'ajust dels guanys PID és crucial per aconseguir un bon comportament dinàmic i estabilitat.
En aquest exemple, calculem la trajectòria del braç robòtic amb dues articulacions. La trajectòria és definida en l'espai angular i es tradueix a l'espai cartesí per l'efector final.
Trobar les trajectòries en l'espai angular (\( \theta_1 \) i \( \theta_2 \)) i l'espai cartesí (\( x \) i \( y \)) donades les posicions inicial i final.
Suposem les posicions angulars inicials i finals com:
On \( T \) és el temps total per la trajectòria.
Utilitzem la interpolació linear per trobar les posicions angulares en qualsevol temps \( t \) (amb \( 0 \leq t \leq T \)):
\[ \theta_1(t) = \theta_1(0) + \frac{\theta_1(T) - \theta_1(0)}{T} \cdot t \] \[ \theta_2(t) = \theta_2(0) + \frac{\theta_2(T) - \theta_2(0)}{T} \cdot t \]
On \( \theta_1(0) \) i \( \theta_2(0) \) són les posicions inicials i \( \theta_1(T) \) i \( \theta_2(T) \) són les posicions finals.
Les posicions de l'efector final en l'espai cartesí es poden calcular a partir de les angles mitjançant les següents equacions:
\[ x(t) = L_1 \cos(\theta_1(t)) + L_2 \cos(\theta_1(t) + \theta_2(t)) \] \[ y(t) = L_1 \sin(\theta_1(t)) + L_2 \sin(\theta_1(t) + \theta_2(t)) \]
On \( L_1 \) i \( L_2 \) són les longituds dels segments del braç.
Amb \( L_1 = 3 \) metres, \( L_2 = 2 \) metres, i un temps total \( T = 10 \) segons, calculem les trajectòries a \( t = 5 \) segons:
Per \( t = 5 \) segons:
\[ \theta_1(5) = 0 + \frac{\frac{\pi}{4} - 0}{10} \cdot 5 = \frac{\pi}{8} \text{ radians} \] \[ \theta_2(5) = 0 + \frac{\frac{\pi}{6} - 0}{10} \cdot 5 = \frac{\pi}{12} \text{ radians} \]
Calculant les posicions cartesians:
\[ x(5) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) \] \[ y(5) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) \]
Utilitzant les valors aproximats per \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.924 \) i \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.383 \):
\[ x(5) \approx 3 \times 0.924 + 2 \times \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \approx 2.772 + 2 \times 0.2588 \approx 2.772 + 0.518 = 3.290 \text{ metres} \] \[ y(5) \approx 3 \times 0.383 + 2 \times \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) \approx 1.149 + 2 \times 0.9659 \approx 1.149 + 1.932 = 3.081 \text{ metres} \]
Utilitzant la interpolació lineal i les equacions de la cinemàtica directa, hem calculat les trajectòries angulars i cartesians per al braç robòtic. Això permet planificar i controlar el moviment del braç robòtic de manera precisa.
En aquest document, explorarem les corbes de Bézier de grau 1 (lineals) i grau 2 (quadràtiques) per calcular trajectòries en un braç robòtic. Utilitzarem les dades següents:
Una corba de Bézier de grau 1 és una línia recta entre dos punts. La fórmula general per a una corba de Bézier de grau 1 és:
\[ \theta(t) = (1 - t) \cdot \theta_0 + t \cdot \theta_1 \]
On \( t \) varia entre 0 i 1, \( \theta_0 \) és la posició inicial i \( \theta_1 \) és la posició final. Substituint els valors:
\[ \theta_1(t) = (1 - t) \cdot 0 + t \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \cdot t \] \[ \theta_2(t) = (1 - t) \cdot 0 + t \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \cdot t \]
Les posicions cartesians es poden calcular com:
\[ x(t) = L_1 \cos(\theta_1(t)) + L_2 \cos(\theta_1(t) + \theta_2(t)) \] \[ y(t) = L_1 \sin(\theta_1(t)) + L_2 \sin(\theta_1(t) + \theta_2(t)) \]
Calculant les angles en \( t = 0.5 \):
\[ \theta_1(0.5) = \frac{\pi}{4} \cdot 0.5 = \frac{\pi}{8} \text{ radians} \] \[ \theta_2(0.5) = \frac{\pi}{6} \cdot 0.5 = \frac{\pi}{12} \text{ radians} \]
Calculant les posicions cartesians:
\[ x(0.5) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) \] \[ y(0.5) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) \]
Amb valors aproximats:
\[ x(0.5) \approx 3 \times 0.924 + 2 \times 0.2588 \approx 2.772 + 0.518 = 3.290 \text{ metres} \] \[ y(0.5) \approx 3 \times 0.383 + 2 \times 0.9659 \approx 1.149 + 1.932 = 3.081 \text{ metres} \]
Una corba de Bézier de grau 2 es defineix per tres punts de control. La fórmula general per a una corba de Bézier de grau 2 és:
\[ \theta(t) = (1 - t)^2 \cdot \theta_0 + 2 \cdot (1 - t) \cdot t \cdot \theta_1 + t^2 \cdot \theta_2 \]
On \( \theta_0 \), \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \) són els punts de control. Substituint els punts de control:
\[ \theta_1(t) = (1 - t)^2 \cdot 0 + 2 \cdot (1 - t) \cdot t \cdot \frac{\pi}{4} + t^2 \cdot \frac{\pi}{4} \] \[ \theta_2(t) = (1 - t)^2 \cdot 0 + 2 \cdot (1 - t) \cdot t \cdot \frac{\pi}{6} + t^2 \cdot \frac{\pi}{6} \]
Els punts de control que utilitzarem seran \( \theta_0 = 0 \), \( \theta_1 = \frac{\pi}{8} \) radians, i \( \theta_2 = \frac{\pi}{4} \) radians. Substituint:
\[ \theta_1(t) = 2 \cdot (1 - t) \cdot t \cdot \frac{\pi}{4} + t^2 \cdot \frac{\pi}{4} \] \[ \theta_2(t) = 2 \cdot (1 - t) \cdot t \cdot \frac{\pi}{6} + t^2 \cdot \frac{\pi}{6} \]
Les posicions cartesians es poden calcular com:
\[ x(t) = L_1 \cos(\theta_1(t)) + L_2 \cos(\theta_1(t) + \theta_2(t)) \] \[ y(t) = L_1 \sin(\theta_1(t)) + L_2 \sin(\theta_1(t) + \theta_2(t)) \]
Calculant les angles en \( t = 0.5 \):
\[ \theta_1(0.5) = 2 \cdot (1 - 0.5) \cdot 0.5 \cdot \frac{\pi}{4} + 0.5^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \] \[ \theta_2(0.5) = 2 \cdot (1 - 0.5) \cdot 0.5 \cdot \frac{\pi}{6} + 0.5^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12} \]
Calculant les posicions cartesians:
\[ x(0.5) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) \] \[ y(0.5) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) \]
Amb valors aproximats:
\[ x(0.5) \approx 3 \times 0.924 + 2 \times 0.2588 \approx 2.772 + 0.518 = 3.290 \text{ metres} \] \[ y(0.5) \approx 3 \times 0.383 + 2 \times 0.9659 \approx 1.149 + 1.932 = 3.081 \text{ metres} \]
Hem calculat les trajectòries utilitzant corbes de Bézier de grau 1 i grau 2. Aquestes corbes ofereixen una manera flexible i precisa per controlar el moviment del braç robòtic, amb diferents perfils de moviment segons el grau de la corba.