1. Definició del moment d'inèrcia
Per un cos tridimensional, el moment d'inèrcia respecte d'un eix és:
\[
I = \int r_\perp^2\,dm,
\]
on \(r_\perp\) és la distància perpendicular de cada element de massa a l’eix.
2. Model del cilindre
- Radi: \(R\)
- Longitud: \(L\)
- Massa total: \(M\)
- Densitat homogènia: constant
Volum
\[
V = \pi R^2 L.
\]
Densitat
\[
\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi R^2 L}.
\]
3. Coordenades i element de volum
Fem servir coordenades cilíndriques \((r,\theta,z)\):
\[
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
\]
Element de volum
\[
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
\]
Element de massa
\[
dm = \rho\,dV = \rho\,r\,dr\,d\theta\,dz.
\]
Com que l’eix és el central, la distància perpendicular és simplement:
\[
r_\perp = r.
\]
4. Integral triple del moment d'inèrcia
Substituïm \(r_\perp = r\) i \(dm=\rho\,r\,dr\,d\theta\,dz\):
\[
I = \int r^2\,dm =
\int_{z=0}^{L}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R}
r^2 \cdot (\rho\,r\,dr\,d\theta\,dz).
\]
Reagrupant:
\[
I = \rho \int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}
r^3\,dr\,d\theta\,dz.
\]
5. Separació d'integrals
Els límits són independents, per tant:
\[
I = \rho \left(\int_{0}^{R} r^3\,dr\right)
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)
\left(\int_{0}^{L} dz\right).
\]
6. Càlcul de cada integral
6.1 Integral radial
\[
\int r^3\,dr = \frac{r^4}{4} \quad\Rightarrow\quad
\int_0^R r^3\,dr = \frac{R^4}{4}.
\]
6.2 Integral angular
\[
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.
\]
6.3 Integral longitudinal
\[
\int_0^L dz = L.
\]
7. Multiplicació dels resultats
\[
I = \rho \cdot \frac{R^4}{4} \cdot 2\pi \cdot L
= \rho \cdot \frac{\pi L R^4}{2}.
\]
8. Substitució de la densitat i simplificació
Com que
\[
\rho = \frac{M}{\pi R^2 L},
\]
substituïm:
\[
I = \left(\frac{M}{\pi R^2 L}\right)\cdot \frac{\pi L R^4}{2}.
\]
Fem les cancel·lacions pas a pas:
- Cancel·lem \(\pi\): queda \(\frac{M}{R^2 L}\cdot L R^4/2\)
- Cancel·lem \(L\): queda \(\frac{M}{R^2}\cdot R^4/2\)
- Simplifiquem potències: \(R^4/R^2 = R^2\)
Resultat final:
\[
\boxed{\,I = \frac{1}{2} M R^2\,}
\]
9. Exemple numèric
Si \(M = 4\text{ kg}\), \(R = 0.2\text{ m}\):
\[
I = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot (0.2)^2
= 2\cdot 0.04 = 0.08\ \text{kg·m}^2.
\]