Calculadora de Cinemàtica Robòtica

En cinemàtica directa, les coordenades del punt final d’un robot pla de dos graus de llibertat (2R) són:

$$ \begin{cases} x = a_1 \cos(q_1) + a_2 \cos(q_1+q_2) \\ y = a_1 \sin(q_1) + a_2 \sin(q_1+q_2) \end{cases} $$

El jacobià és la matriu de derivades parcials que relaciona les velocitats angulars de les articulacions $(\dot{q}_1, \dot{q}_2)$ amb les velocitats lineals del punt final $(\dot{x}, \dot{y})$:

$$ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = J \begin{bmatrix} \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \end{bmatrix}, \quad J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial q_1} & \dfrac{\partial x}{\partial q_2} \\ \dfrac{\partial y}{\partial q_1} & \dfrac{\partial y}{\partial q_2} \end{bmatrix} $$

Figura interactiva: ajusta la velocitat per veure com el punt P(x,y) es mou segons les variacions de q₁ i q₂. El jacobià descriu aquesta relació entre moviments angulars i desplaçaments cartesians.

🔹 Jacobià invers ($J^{-1}$): permet calcular les variacions necessàries de les articulacions per aconseguir una determinada velocitat cartesiana. S’utilitza en cinemàtica inversa diferencial i en el control de trajectòries.

🔹 Jacobià transposat ($J^T$): relaciona les forces aplicades al punt final amb els torcs (moments) necessaris a les articulacions:

$$ \begin{bmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \end{bmatrix} = J^T \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix} $$
En altres paraules, el jacobià transposat serveix per "traslladar" forces o esforços des de l’espai cartesià cap a l’espai articular. És essencial en control de forces, on volem que el robot respongui amb un esforç adequat a una força externa.

🔸 Exemple intuïtiu: si prems amb una força $F$ sobre el punt final, el jacobià transposat indica com es reparteix aquesta força en torcs ($\tau_1, \tau_2$) a les articulacions.

En resum, la matriu jacobiana connecta tres móns:
Moviment → Velocitat → Força
i les seves versions inverses o transposades permeten traduir entre articulacions i espai cartesià segons el context.