Dinàmica de Robots 🧠

El model dinàmic del robot manipulador descriu l'esforç motor total $\boldsymbol{\tau}$ necessari, sumant els components d'inèrcia, velocitat i gravetat:

$$ \boldsymbol{\tau} = \mathbf{M}(\boldsymbol{q})\ddot{\boldsymbol{q}} + \mathbf{C}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})\dot{\boldsymbol{q}} + \mathbf{g}(\boldsymbol{q}) $$

Aquí, $\boldsymbol{q}$, $\dot{\boldsymbol{q}}$, $\ddot{\boldsymbol{q}}$ són els vectors de posició, velocitat i acceleració articulars.

Anàlisi de Cada Terme Dinàmic

1. Matriu d’Inèrcia $\mathbf{M}(\boldsymbol{q})$: La Resistència Massiva 🏋️

Funció: Determina la massa efectiva que cal moure per generar una acceleració. És l'anàleg de la massa a la segona llei de Newton, $ F=m \cdot a $.

Detall de la Matriu M:

Termes de la Diagonal ($ M_{ii} $): La inèrcia pròpia de l'articulació $ i $.
Termes Fora de la Diagonal ($ M_{ij} $): La inèrcia d'acoblament; l'acceleració d'una articulació exigeix esforç a les altres a causa de la connexió massiva.

Analogia: La càrrega total que portes en un carretó.

2. Termes de Coriolis i Centríifugs $\mathbf{C}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})$: Les Forces del Moviment 🌀

Funció: Recull les forces inercials que apareixen només quan el robot està movent-se ràpidament (terme $ \mathbf{C}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})\dot{\boldsymbol{q}} $).

Detall de la Matriu C:

Forces Centrífugues: Són proporcionals al quadrat de la velocitat ($ \dot{\boldsymbol{q}}_i^2 $).
Forces de Coriolis: Són proporcionals al producte de dues velocitats($ \dot{\boldsymbol{q}}_i \dot{\boldsymbol{q}}_j $). Reflecteixen la interacció rotacional.

Analogia: La força lateral que sents en un gir brusc.

3. Vector de Gravetat $\mathbf{g}(\boldsymbol{q})$: La Càrrega Estàtica ⬇️

Funció: Calcula el moment necessari a cada articulació per sostenir el pes dels segments contra la gravetat terrestre. És un vector columna.

Detall del Vector g:

Cada component $ g_i(\boldsymbol{q}) $ depèn de la massa del segment i de l'angle que fa el segment amb la vertical.

És l'esforç motor mínim per mantenir la posició.

Analogia: L'esforç per sostenir una maleta amb el braç estès.

Control de Robots per Inversa Dinàmica (Computed Torque)

Aquest mètode utilitza el model dinàmic per cancel·lar els efectes no lineals i calcular el parell $\boldsymbol{\tau}$:

$$ \boldsymbol{\tau} = \hat{\mathbf{M}}(\boldsymbol{q})\ddot{\boldsymbol{q}}_c + \hat{\mathbf{C}}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})\dot{\boldsymbol{q}} + \hat{\mathbf{g}}(\boldsymbol{q}) $$

Amb l'acceleració de control $\ddot{\boldsymbol{q}}_c$ definida per un controlador PD lineal basat en l'error $\boldsymbol{e} = \boldsymbol{q}_d - \boldsymbol{q}$:

$$ \ddot{\boldsymbol{q}}_c = \ddot{\boldsymbol{q}}_d + \mathbf{K}_v (\dot{\boldsymbol{q}}_d - \dot{\boldsymbol{q}}) + \mathbf{K}_p (\boldsymbol{q}_d - \boldsymbol{q}) $$

Resultat: Linearització

Si el model és correcte, el sistema es redueix a un sistema lineal simple, on la dinàmica de l'error $\boldsymbol{e}$ és:

$$ \ddot{\boldsymbol{e}} + \mathbf{K}_v \dot{\boldsymbol{e}} + \mathbf{K}_p \boldsymbol{e} = \mathbf{0} $$