A continuació veuràs com utilitzar el Jacobià transposat per calcular els parells necessaris a les articulacions d'un braç robòtic quan hi ha forces aplicades a l'efector final.
Paràmetres del sistema:
- Longitud del primer braç \( a_1 = 1.0 \) m
- Longitud del segon braç \( a_2 = 0.5 \) m
- Angle de l'articulació 1 \( q_1 = 30^\circ \)
- Angle de l'articulació 2 \( q_2 = 45^\circ \)
- Forces aplicades a l'efector: \( f_x = 0.2 \) N, \( f_y = 0.1 \) N
Pas 1: Relació entre forces i parells
En l'anàlisi estàtica d'un robot, el Jacobià transposat \( J^T \) relaciona les forces aplicades a l'efector final amb els parells necessaris a les articulacions:
\[
\begin{bmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \end{bmatrix} = J^T \begin{bmatrix} f_x \\ f_y \end{bmatrix}
\]
On:
- \( \tau_1 \) i \( \tau_2 \) són els parells o moments de forces (torques en anglès) necessaris a les articulacions 1 i 2
- \( f_x \) i \( f_y \) són les components de la força aplicada a l'efector final
- \( J^T \) és la matriu transposada del Jacobià cinemàtic
Aquesta relació és fonamental per dissenyar i controlar robots, ja que permet determinar l'esforç que han de realitzar els motors per suportar càrregues externes o realitzar tasques que impliquen aplicar forces.
Pas 2: Calcular el Jacobià \( J \)
Recordem que per un braç robòtic planar de 2 DOF, el Jacobià és:
\[
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial q_1} & \frac{\partial x}{\partial q_2} \\
\frac{\partial y}{\partial q_1} & \frac{\partial y}{\partial q_2}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-a_1 \sin q_1 - a_2 \sin (q_1 + q_2) & -a_2 \sin (q_1 + q_2) \\
a_1 \cos q_1 + a_2 \cos (q_1 + q_2) & a_2 \cos (q_1 + q_2)
\end{bmatrix}
\]
Convertim els angles a radians:
- \( q_1 = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \) rad ≈ 0.5236 rad
- \( q_2 = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \) rad ≈ 0.7854 rad
- \( q_1 + q_2 = 75^\circ = \frac{5\pi}{12} \) rad ≈ 1.3090 rad
Calculem els valors trigonomètrics:
- \( \sin q_1 = \sin 30^\circ = 0.5 \)
- \( \cos q_1 = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 \)
- \( \sin (q_1 + q_2) = \sin 75^\circ \approx 0.9659 \)
- \( \cos (q_1 + q_2) = \cos 75^\circ \approx 0.2588 \)
Substituint a \( J \):
- Element (1,1): \( -a_1 \sin q_1 - a_2 \sin (q_1 + q_2) = -1 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0.9659 \approx -0.5 - 0.4830 = -0.9830 \)
- Element (1,2): \( -a_2 \sin (q_1 + q_2) = -0.5 \cdot 0.9659 \approx -0.4830 \)
- Element (2,1): \( a_1 \cos q_1 + a_2 \cos (q_1 + q_2) = 1 \cdot 0.8660 + 0.5 \cdot 0.2588 \approx 0.8660 + 0.1294 = 0.9954 \)
- Element (2,2): \( a_2 \cos (q_1 + q_2) = 0.5 \cdot 0.2588 \approx 0.1294 \)
Així, la matriu Jacobià és aproximadament:
\[
J \approx \begin{bmatrix}
-0.9830 & -0.4830 \\
0.9954 & 0.1294
\end{bmatrix}
\]
Pas 3: Calcular la transposada del Jacobià \( J^T \)
La transposada d'una matriu s'obté intercanviant files per columnes:
\[
J^T = \begin{bmatrix}
-0.9830 & 0.9954 \\
-0.4830 & 0.1294
\end{bmatrix}
\]
Pas 4: Aplicar la fórmula per calcular els parells
Utilitzem la fórmula \( \tau = J^T f \):
\[
\begin{bmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-0.9830 & 0.9954 \\
-0.4830 & 0.1294
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.1 \end{bmatrix}
\]
Realitzem la multiplicació de matrius:
- \( \tau_1 = (-0.9830 \cdot 0.2) + (0.9954 \cdot 0.1) = -0.1966 + 0.09954 = -0.09706 \) N·m
- \( \tau_2 = (-0.4830 \cdot 0.2) + (0.1294 \cdot 0.1) = -0.0966 + 0.01294 = -0.08366 \) N·m
Resultats:
- \( \tau_1 \approx -0.0971 \) N·m
- \( \tau_2 \approx -0.0837 \) N·m
Els signes negatius indiquen que els parells s'han d'aplicar en sentit contrari al que s'assumeix positiu per a cada articulació.
Exemple pràctic: Suportar un pes
Suposem que l'efector final està subjectant un objecte de massa \( m = 0.5 \) kg. La força deguda a la gravetat seria:
\[
f = \begin{bmatrix} 0 \\ -mg \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -0.5 \cdot 9.81 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -4.905 \end{bmatrix} \text{N}
\]
Els parells necessaris serien:
\[
\begin{bmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-0.9830 & 0.9954 \\
-0.4830 & 0.1294
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ -4.905 \end{bmatrix}
\]
Calculant:
- \( \tau_1 = (-0.9830 \cdot 0) + (0.9954 \cdot -4.905) = -4.882 \) N·m
- \( \tau_2 = (-0.4830 \cdot 0) + (0.1294 \cdot -4.905) = -0.635 \) N·m
Aquests valors ens indiquen els parells que han de proporcionar els motors per mantenir l'objecte sense que caigui.
Importància del Jacobià transposat en l'anàlisi estàtica
Per calcular esforços als motors: El Jacobià transposat és essencial per determinar els parells que necessiten aplicar els motors de les articulacions per suportar càrregues externes o realitzar tasques que impliquen aplicar forces amb l'efector final.
Altres utilitats:
- Disseny de robots: Permet determinar les especificacions dels actuadors (motors) necessaris per a una aplicació específica, assegurant-se que poden generar els parells requerits.
- Anàlisi de capacitat de càrrega: Es pot determinar la màxima càrrega que pot suportar el robot en diferents configuracions, identificant punts dèbils o configuracions òptimes.
- Control per força: En aplicacions com el poliment, muntatge o interacció amb l'entorn, el control per força requereix calcular els parells corresponents a les forces desitjades.
- Simulacions: En entorns virtuals, es pot simular el comportament del robot sota diferents càrregues, permetent avaluar el seu rendiment abans de la implementació física.
- Identificació de singularitats: Les configuracions singulars també es manifesten en l'anàlisi estàtica, on certes forces a l'efector requereixen parells infinits a les articulacions.
Relació amb el principi dels treballs virtuals: La relació \( \tau = J^T f \) es deriva del principi dels treballs virtuals, que estableix que el treball realitzat per les forces i parells en un sistema ha de ser el mateix independentment de les coordenades utilitzades per descriure'l.