Derivades i Jacobians en Enginyeria i Robòtica

Què és una Derivada?

Una derivada mesura com canvia una funció respecte a un canvi en la seva variable independent. És com calcular la pendent d'una recta tangent a una corba en un punt específic.

Exemple: Si tenim una funció $$f(x) = x^2$$, la derivada de $$f(x)$$ respecte a $$x$$ és:

$$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = 2x$$

Importància en Enginyeria: Les derivades s'utilitzen per analitzar velocitats, acceleracions i altres taxes de canvi en sistemes físics.

Què és una Derivada Parcial?

Una derivada parcial mesura com canvia una funció multivariable respecte a un canvi en una de les seves variables, mantenint les altres constants.

Exemple: Si tenim una funció $$f(x, y) = x^2 + y^2$$, la derivada parcial respecte a $$x$$ és:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$$

I respecte a $$y$$ és:

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

Importància en Enginyeria: Les derivades parcials són fonamentals en l'anàlisi de camps vectorials i equacions diferencials parcials.

Què és un Jacobian?

El jacobià és una matriu que conté totes les derivades parcials primeres d'un conjunt de funcions vectorials. Relaciona els canvis en les variables d'entrada amb els canvis en les variables de sortida.

Exemple: Si tenim un sistema de funcions $$\vec{F}(x, y) = [f_1(x, y), f_2(x, y)]$$ on:

El jacobià és:

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x & 1 \\ y & x + 2y \end{bmatrix}$$

Importància del Jacobian en Robòtica