1.1. Energia Cinètica Total:
\[ K(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} \mathbf{v}^T M(\theta) \mathbf{v} \] On \( \mathbf{v} \) és el vector de velocitats i \( M(\theta) \) és la matriu de masses del sistema.
1.2. Energia Cinètica de cada segment:
\[ K(\theta, \dot{\theta}) = \sum_{i=1}^{n} K_i(\theta, \dot{\theta}) \] On \( K_i(\theta, \dot{\theta}) \) és l'energia cinètica de cada segment individual.
1.3. Energia Cinètica del segment 1:
\[ K_1(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \]
1.4. Energia Cinètica del segment 2:
\[ K_2(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \]
1.5. Posició del segment 1 en coordenades cartesianes:
\[ x_1 = l_1 \sin \theta_1 \]
1.6. Posició del segment 1 en coordenades cartesianes:
\[ y_1 = l_1 \cos \theta_1 \]
1.7. Posició del segment 2 en coordenades cartesianes:
\[ x_2 = l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \]
1.8. Posició del segment 2 en coordenades cartesianes:
\[ y_2 = -l_1 \cos \theta_1 - l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \]
1.9. Velocitat del segment:
\[ \mathbf{v} = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} \]
1.10. Magnitud del vector velocitat:
\[ v^2 = \mathbf{v}^T \mathbf{v} \]
1.11. Velocitat del segment 2 simplificada:
\[ v_2 = l_2 (\cos \theta_2 + \sin \theta_2) \dot{\theta_1} = l_2 \dot{\theta_2} \]
1.12. Velocitat del segment 2 (detallada):
\[ v_2 = l_2 \cos \theta_2 \dot{\theta_2} + 2l_1 l_2 \cos \theta_1 \cos(\theta_1 + \theta_2) (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) + l_2 \cos^2(\theta_1 + \theta_2) (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) \]
1.13. Velocitat simplificada:
\[ v_2 = l_2 \dot{\theta_2} + l_2 (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2} + 2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2}) \]
1.14. Energia Cinètica del segment 1 (simplificada):
\[ K_1(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta_1}^2 \]
1.15. Energia Cinètica del segment 2 (simplificada):
\[ K_2(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\theta_2}^2 + \frac{1}{2} m_2 l_1 l_2 (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2})^2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) \]
1.16. Energia Cinètica Total:
\[ K(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l_1^2 \dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 (\dot{\theta_2}^2 + \dot{\theta_1}^2 + 2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2}) + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) \]
2.1. Energia Potencial Total:
\[ U(\theta) = \sum_{i=1}^{n} U_i(\theta) \]
2.2. Energia Potencial del sistema:
\[ U(\theta) = -(m_1 + m_2) g l_1 \cos \theta_1 - m_2 g l_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) \]
3.1. Lagrangià:
\[ L(\theta, \dot{\theta}) = K - U \]
3.2. Lagrangià detallada:
\[ L(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l_1^2 \dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 (\dot{\theta_2}^2 + \dot{\theta_1}^2 + 2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2}) + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) + (m_1 + m_2) g l_1 \cos \theta_1 + m_2 g l_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) \]
4.1. Equació de Lagrange-Euler:
\[ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial L}{\partial \theta} = \tau_i \]
4.2. Equació de Lagrange per \( \theta_1 \):
\[ \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = (m_1 + m_2) l_1^2 \dot{\theta_1} + m_2 l_1 l_2 (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) + 2 m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \dot{\theta_1} + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \dot{\theta_1} \]
4.3. Derivada temporal de \( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}} \):
\[ \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}} \right] = \left[ (m_1 + m_2) l_1^2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \right] \ddot{\theta_1} + \left[ m_2 l_2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \right] \ddot{\theta_2} - 2 m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} - m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_2} \]
4.4. Derivada parcial de \( L \) respecte a \( \theta_1 \):
\[ \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -(m_1 + m_2) g l_1 \sin \theta_1 - m_2 g l_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) \]
4.5. Torque per \( \theta_1 \):
\[ \tau_1 = \left[ (m_1 + m_2) l_1^2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \right] \ddot{\theta_1} + \left[ m_2 l_2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \right] \ddot{\theta_2} - 2 m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} - m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_2} + (m_1 + m_2) g l_1 \sin \theta_1 + m_2 g l_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) \]
4.6. Equació de Lagrange per \( \theta_2 \):
\[ \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = m_2 l_2 (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_1 \dot{\theta_2} \]
4.7. Derivada temporal de \( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}} \):
\[ \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}} \right] = m_2 l_2 (\ddot{\theta_1} + \ddot{\theta_2}) + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_1 \ddot{\theta_2} - m_2 l_1 l_2 \sin \theta_1 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} \]
4.8. Derivada parcial de \( L \) respecte a \( \theta_2 \):
\[ \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -m_2 l_1 l_2 \sin (\theta_2) (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}) - m_2 g l_2 \sin \theta_2 \]
4.9. Torque per \( \theta_2 \):
\[ \tau_2 = \left[ m_2 l_2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_1 \right] \ddot{\theta_1} + m_2 l_2 \ddot{\theta_2} + m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_2} + m_2 g l_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) \]
5.1. Component de la matriu inercial \( M(1,1) \):
\[ M(1,1) = (m_1 + m_2) l_1^2 + m_2 l_2^2 + 2 m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \]
5.2. Component de la matriu inercial \( M(1,2) \):
\[ M(1,2) = m_2 l_2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \]
5.3. Component de la matriu inercial \( M(2,1) \):
\[ M(2,1) = m_2 l_2 + m_2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \]
5.4. Component de la matriu inercial \( M(2,2) \):
\[ M(2,2) = m_2 l_2^2 \]
5.5. Component de la força centrífuga \( C(1,2) \):
\[ C(1,2) = -2 m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} - m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_2} \]
5.6. Component de la força centrífuga \( C(2,1) \):
\[ C(2,1) = m_2 l_1 l_2 \sin \theta_2 \dot{\theta_2} \]
5.7. Component de la força de gravetat \( G(1,1) \):
\[ G(1,1) = (m_1 + m_2) g l_1 \sin \theta_1 + m_2 g l_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) \]
5.8. Component de la força de gravetat \( G(2,1) \):
\[ G(2,1) = m_2 g l_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) \]
6.1. Equació dinàmica general:
\[ M(\theta) \ddot{\theta} + C(\theta, \dot{\theta}) \dot{\theta} + G(\theta) = \tau \]