A continuació es mostren les matrius de transformació D-H per a un robot industrial de 6 eixos (ex: KUKA KR6 R900):
| Eix (i) | \(\theta_i\) (°) | \(d_i\) (mm) | \(a_i\) (mm) | \(\alpha_i\) (°) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 30 | 400 | 25 | 90 |
| 2 | 45 | 0 | 560 | 0 |
| 3 | 90 | 0 | 515 | 0 |
| 4 | 60 | 0 | 0 | 90 |
| 5 | -30 | 0 | 0 | -90 |
| 6 | 0 | 100 | 0 | 0 |
La fórmula general de la matriu D-H és:
\[ A_i = \begin{pmatrix} \cos(\theta_i) & -\sin(\theta_i)\cos(\alpha_i) & \sin(\theta_i)\sin(\alpha_i) & a_i\cos(\theta_i) \\ \sin(\theta_i) & \cos(\theta_i)\cos(\alpha_i) & -\cos(\theta_i)\sin(\alpha_i) & a_i\sin(\theta_i) \\ 0 & \sin(\alpha_i) & \cos(\alpha_i) & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Apliquem els paràmetres numèrics per al primer eix:
\[ A_1 = \begin{pmatrix} 0.866 & 0 & 0.5 & 21.65 \\ 0.5 & 0 & -0.866 & 12.5 \\ 0 & 1 & 0 & 400 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Apliquem els paràmetres numèrics per al segon eix:
\[ A_2 = \begin{pmatrix} 0.707 & -0.707 & 0 & 395.98 \\ 0.707 & 0.707 & 0 & 395.98 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Apliquem els paràmetres numèrics per al tercer eix:
\[ A_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 515 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Apliquem els paràmetres numèrics per al quart eix:
\[ A_4 = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 & 0.866 & 0 \\ 0.866 & 0 & -0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Apliquem els paràmetres numèrics per al cinquè eix:
\[ A_5 = \begin{pmatrix} 0.866 & 0 & -0.5 & 0 \\ -0.5 & 0 & -0.866 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Apliquem els paràmetres numèrics per al sisè eix:
\[ A_6 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 100 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Multipliquem les matrius de tots els eixos per obtenir la matriu de transformació total:
\[ T_{06} = A_1 \times A_2 \times A_3 \times A_4 \times A_5 \times A_6 \]
El càlcul és extens, però la matriu final ens donarà la posició i orientació de l'eina del robot (l'extrem del braç) respecte al marc base.
Multipliquem totes les matrius per obtenir el resultat final:
\[ T_{06} = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.866 & 0 & 652.13 \\ 0.866 & 0.5 & 0 & 719.69 \\ 0 & 0 & 1 & 500 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Aquesta matriu ens indica que la posició final de l'eina del robot en coordenades \(X, Y, Z\) és aproximadament (652.13, 719.69, 500) mm respecte a la base.