En robòtica, la posició i orientació final de l'efector del robot s'obté multiplicant seqüencialment les matrius de transformació homogènia \( \mathbf{T}_1 \) fins a \( \mathbf{T}_6 \). La matriu final \( \mathbf{T}_6 \) representa la transformació total des del sistema de coordenades base fins a l'efector final.
La matriu de transformació \( \mathbf{T}_i \) per a cada junta \( i \) té la forma general:
\[ \mathbf{T}_i = \begin{pmatrix} R_i & \mathbf{d}_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
on \( R_i \) és la submatriu de rotació \( 3 \times 3 \) i \( \mathbf{d}_i \) és el vector de translació \( 3 \times 1 \).
Quan multipliquem aquestes matrius seqüencialment, tenim:
\[ \mathbf{T}_6 = \mathbf{T}_1 \times \mathbf{T}_2 \times \mathbf{T}_3 \times \mathbf{T}_4 \times \mathbf{T}_5 \times \mathbf{T}_6 \]
Expandint aquesta multiplicació, obtenim:
\[ \mathbf{T}_6 = \begin{pmatrix} R_1 & \mathbf{d}_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} R_2 & \mathbf{d}_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \dots \times \begin{pmatrix} R_6 & \mathbf{d}_6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Ara, considerem la multiplicació de dues matrius de transformació genèriques \( \mathbf{T}_i \) i \( \mathbf{T}_{i+1} \):
\[ \mathbf{T}_i \times \mathbf{T}_{i+1} = \begin{pmatrix} R_i & \mathbf{d}_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} R_{i+1} & \mathbf{d}_{i+1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R_i \times R_{i+1} & R_i \times \mathbf{d}_{i+1} + \mathbf{d}_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Aplicant aquesta regla successivament des de \( \mathbf{T}_1 \) fins a \( \mathbf{T}_6 \), obtenim:
\[ \mathbf{T}_6 = \begin{pmatrix} R_1 \times R_2 \times \dots \times R_6 & R_1 \times R_2 \times \dots \times R_5 \times \mathbf{d}_6 + \dots + R_1 \times \mathbf{d}_2 + \mathbf{d}_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Per tant, podem observar que el resultat final \( \mathbf{T}_6 \) depèn de la multiplicació acumulativa de les submatrius de rotació i la suma ponderada dels vectors de translació.
Així, hem demostrat matemàticament que la multiplicació seqüencial de les matrius de transformació \( \mathbf{T}_1 \) fins \( \mathbf{T}_6 \) dona com a resultat la matriu total \( \mathbf{T}_6 \), que descriu la posició i orientació final de l'efector del robot en l'espai.