En un robot de 6 graus de llibertat (6DOF), la matriu de transformació \( \mathbf{T}_6 \) es defineix com:
\[ \mathbf{T}_6 = \begin{pmatrix} R & \mathbf{d} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Aquesta matriu \( \mathbf{T}_6 \) és una matriu homogènia \( 4 \times 4 \), on \( R \) és una submatriu de rotació \( 3 \times 3 \) i \( \mathbf{d} \) és el vector de translació.
La submatriu de rotació \( R \) és:
\[ R = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{pmatrix} \]
Aquesta submatriu es pot utilitzar per determinar els angles d'Euler. Suposem que fem servir la convenció ZYX (rotació al voltant de Z, seguida de Y, i finalment de X). Els angles d'Euler \( (\alpha, \beta, \gamma) \) es poden calcular així:
1. Angle \( \beta \) (al voltant de l'eix Y):
\[ \beta = \text{atan2}\left(\sqrt{r_{31}^2 + r_{32}^2}, r_{33}\right) \]
2. Angle \( \alpha \) (al voltant de l'eix Z):
\[ \alpha = \text{atan2}\left(r_{21}, r_{11}\right) \]
3. Angle \( \gamma \) (al voltant de l'eix X):
\[ \gamma = \text{atan2}\left(r_{32}, r_{33}\right) \]
Amb aquests tres angles \( \alpha \), \( \beta \) i \( \gamma \), es defineix l'orientació completa de l'efector final del robot en l'espai tridimensional.