Deducció Pas a Pas de la Matriu de Transformació

Per a un sistema robòtic de 6 graus de llibertat, la matriu de transformació homogènia permet descriure la relació entre els sistemes de coordenades de les diferents articulacions del robot. Aquesta matriu integra rotacions i translacions.

Pas 1: Definició dels Paràmetres Denavit-Hartenberg (DH)

La notació DH utilitza quatre paràmetres per descriure cada articulació del robot:

\(\theta_i\): Angle de rotació al voltant de l'eix \(z_{i-1}\).
\(d_i\): Distància al llarg de l'eix \(z_{i-1}\) (desplaçament).
\(a_i\): Longitud de la translació o desplaçament al llarg de l'eix \(x_i\).
\(\alpha_i\): Angle de torsió al voltant de l'eix \(x_i\).

Pas 2: Matriu de Rotació al Voltants de l'Eix \(z_{i-1}\)

Primer, considerem la rotació al voltant de l'eix \(z_{i-1}\) per un angle \(\theta_i\). La matriu de rotació és:

\[ R_z(\theta_i) = \begin{bmatrix} \cos(\theta_i) & -\sin(\theta_i) & 0 & 0 \\ \sin(\theta_i) & \cos(\theta_i) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Pas 3: Translació al Llarg de l'Eix \(z_{i-1}\)

Després, s'aplica una translació al llarg de l'eix \(z_{i-1}\) per una distància \(d_i\). La matriu de translació és:

\[ T_z(d_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Pas 4: Translació al Llarg de l'Eix \(x_i\)

Després, es fa una translació al llarg de l'eix \(x_i\) per una distància \(a_i\). La matriu de translació és:

\[ T_x(a_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Pas 5: Rotació al Voltants de l'Eix \(x_i\)

Finalment, s'aplica una rotació al voltant de l'eix \(x_i\) per un angle \(\alpha_i\). La matriu de rotació és:

\[ R_x(\alpha_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha_i) & -\sin(\alpha_i) & 0 \\ 0 & \sin(\alpha_i) & \cos(\alpha_i) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Pas 6: Combinació de les Matrius

La matriu de transformació homogènia per a una articulació \(i\) es pot obtenir multiplicant les matrius de rotació i translació obtingudes en els passos anteriors:

\[ T_i = R_z(\theta_i) \cdot T_z(d_i) \cdot T_x(a_i) \cdot R_x(\alpha_i) \]

Multiplicant aquestes matrius, obtenim:

\[ T_i = \begin{bmatrix} \cos(\theta_i) & -\sin(\theta_i)\cos(\alpha_i) & \sin(\theta_i)\sin(\alpha_i) & a_i\cos(\theta_i) \\ \sin(\theta_i) & \cos(\theta_i)\cos(\alpha_i) & -\cos(\theta_i)\sin(\alpha_i) & a_i\sin(\theta_i) \\ 0 & \sin(\alpha_i) & \cos(\alpha_i) & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Conclusió

La matriu \(T_i\) descriu la transformació d'un sistema de coordenades associat a l'articulació \(i-1\) al sistema de coordenades de l'articulació \(i\). Aquesta matriu combina tant les rotacions com les translacions que es defineixen pels paràmetres DH per descriure completament la posició i orientació de cada articulació respecte a la seva predecessora.

Matriu Completa per a un Robot de 6 Graus de Llibertat

Per a un robot amb 6 graus de llibertat, la matriu de transformació total es calcula multiplicant les matrius de cada articulació:

\[ T_{total} = T_1 \cdot T_2 \cdot T_3 \cdot T_4 \cdot T_5 \cdot T_6 \]

Això proporciona la posició i orientació final de l'extrem final del robot respecte al sistema de coordenades base.

Justificació de la Matriu de Transformació per a 6 Graus de Llibertat

La matriu de transformació homogènia és fonamental per descriure la relació entre dos sistemes de coordenades en robòtica, especialment per a un robot amb múltiples graus de llibertat. Aquesta matriu combina tant rotacions com translacions, cosa que permet descriure completament la posició i orientació d'una articulació respecte a l'anterior.

Forma General de la Matriu de Transformació

La matriu de transformació per a una articulació \(i\) es pot escriure com:

Explicació Pas a Pas dels Termes

Cada element de la matriu té un significat específic basat en els paràmetres Denavit-Hartenberg (DH):

1. Component Rotacional \(R_{11}\) i \(R_{21}\)

\[ \cos(\theta_i) \quad \text{i} \quad \sin(\theta_i) \]

Aquestes components representen la rotació al voltant de l'eix \(z_{i-1}\) (des de la matriu de rotació) associada a l'angle de rotació \(\theta_i\).

2. Component Rotacional \(R_{12}\) i \(R_{22}\)

\[ -\sin(\theta_i)\cos(\alpha_i) \quad \text{i} \quad \cos(\theta_i)\cos(\alpha_i) \]

Aquests termes combinen la rotació al voltant de l'eix \(z_{i-1}\) (\(\theta_i\)) amb la torsió al voltant de l'eix \(x_i\) (\(\alpha_i\)). És a dir, inclouen tant la rotació al voltant de l'eix anterior com l'angle entre els dos eixos.

3. Component Rotacional \(R_{13}\) i \(R_{23}\)

\[ \sin(\theta_i)\sin(\alpha_i) \quad \text{i} \quad -\cos(\theta_i)\sin(\alpha_i) \]

Aquests termes també representen la combinació de les rotacions \(\theta_i\) i \(\alpha_i\), però projectades sobre el nou pla definit per l'eix \(x_i\) i el nou eix \(z_i\).

4. Component Translacional \(P_x\) i \(P_y\)

\[ a_i\cos(\theta_i) \quad \text{i} \quad a_i\sin(\theta_i) \]

Aquestes components representen la translació al llarg de l'eix \(x_i\). Els valors \(a_i\) són les distàncies entre els eixos \(z_{i-1}\) i \(z_i\) al llarg de l'eix \(x_i\).

5. Component Translacional \(P_z\)

\[ d_i \]

Aquest terme representa la translació al llarg de l'eix \(z_{i-1}\) per arribar a la nova posició de l'articulació, definida pel paràmetre DH \(d_i\).

6. Component de Torsió \(R_{33}\)

\[ \cos(\alpha_i) \]

Aquest terme representa la torsió al voltant de l'eix \(x_i\), que és l'angle entre els eixos \(z_{i-1}\) i \(z_i\).

7. Components Restants

\[ R_{31} = 0, \quad R_{32} = \sin(\alpha_i), \quad P_z = d_i, \quad \text{i el valor constant} \quad 1 \quad \text{a la quarta columna i fila}. \]

Aquests termes completen la matriu de transformació homogènia, assegurant que es combina correctament la rotació i la translació entre les coordenades de l'articulació actual i la següent.

Matriu de Transformació Completa

Aquesta matriu descriu completament com es transforma un punt de coordenades respecte a un sistema de referència anterior després de les operacions de rotació i translació definides pels paràmetres DH.