La matriu de transformació homogènia general per a un sistema de 6 graus de llibertat es pot expressar en termes dels paràmetres Denavit-Hartenberg (DH). Aquesta matriu és una combinació de les transformacions de rotació i translació que descriuen la relació entre dos sistemes de coordenades adjacents al llarg d'un braç robòtic.
La forma general de la matriu de transformació homogènia per a cada articulació és:
\[ T_i = \begin{bmatrix} \cos(\theta_i) & -\sin(\theta_i)\cos(\alpha_i) & \sin(\theta_i)\sin(\alpha_i) & a_i\cos(\theta_i) \\ \sin(\theta_i) & \cos(\theta_i)\cos(\alpha_i) & -\cos(\theta_i)\sin(\alpha_i) & a_i\sin(\theta_i) \\ 0 & \sin(\alpha_i) & \cos(\alpha_i) & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Per a un robot amb 6 graus de llibertat, la matriu de transformació total des de la base fins a l'efector final (punta del robot) es pot obtenir multiplicant les matrius de transformació de cada articulació.
Això es pot expressar com:
\[ T_{06} = T_1 \cdot T_2 \cdot T_3 \cdot T_4 \cdot T_5 \cdot T_6 \]
On:
\[ T_{06} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & px \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & py \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & pz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
En aquesta matriu:
r_{11}, r_{12}, r_{13} defineixen la primera fila de la submatriu de rotació.r_{21}, r_{22}, r_{23} defineixen la segona fila de la submatriu de rotació.r_{31}, r_{32}, r_{33} defineixen la tercera fila de la submatriu de rotació.px, py, pz són les coordenades de la posició de l'efector final respecte al sistema de coordenades de la base.
Aquesta matriu homogènia general T_{06} permet determinar la posició i orientació de l'efector final del robot en l'espai tridimensional.