Controlador PID per un Braç Robotitzat

En aquest document, s'explica la implementació d'un controlador proporcional-integral-derivat (PID) per controlar un braç robotitzat amb dos graus de llibertat (2-DOF). A causa de la interacció forta entre els dos braços, és necessari utilitzar dos controladors PID, un per cada braç. A més, cal decoplar l'efecte d'acoblament per controlar cada braç de manera independent.

Objectiu del Control

L'objectiu principal és fer que el braç robotitzat es mogui o s'aturi en la posició desitjada. Per aconseguir-ho, es defineix un angle de junta desitjat, \(\theta_d\). L'objectiu del control del robot és dissenyar el parell d'entrada de tal manera que l'error de regulació \(\tilde{\theta}\) (expressat com \(\theta_d - \theta\)) es redueixi a zero.

Error de Regulació

L'error de regulació es defineix com:

\(\tilde{\theta} = \theta_d - \theta\) (Equació 39)

On:

• \(\theta_d\): És l'angle desitjat de la junta [rad].
• \(\theta\): És l'angle actual de la junta [rad].

Llei de Control PID

La llei de control PID s'expressa en funció de l'error \(\tilde{\theta}\) com:

\(\tau_{PID} = K_p \tilde{\theta} + K_i \int \tilde{\theta}(t) \, dt + K_d \dot{\tilde{\theta}}\) (Equació 40)

On:

• \(K_p\): Constant proporcional.
• \(K_i\): Constant integral.
• \(K_d\): Constant derivativa.
• \(\dot{\tilde{\theta}}\): Derivada de l'error.

Sistema en Bucle Tancat

L'equació del sistema en bucle tancat del braç robotitzat s'obté substituint l'acció de control \(\tau_{PID}\) (de l'Equació 40) en el model del robot:

\(M(\theta)\ddot{\theta} + C(\theta, \dot{\theta})\dot{\theta} + G(\theta) = K_p \tilde{\theta} + \xi + K_d \dot{\tilde{\theta}} = \tau_{PID}\) (Equació 41)

On \(\xi\) és la integral de l'error, tal com es defineix en:

\(\dot{\xi} = K_i \tilde{\theta}\) (Equació 42)

Treball Físic i Parell Aplicat

Segons Murray (1994), el treball realitzat pel moviment dels efectors finals s'expressa com:

\(W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{t}\) (Equació 42)

On:

• \(W\): Treball realitzat per l'efector final.
• \(t_1\) a \(t_2\): Interval de temps.
• \(\mathbf{F}\): Vector de força aplicat pel moviment de l'efector final.

Aquest treball és el mateix que el realitzat pel braç del robot, així que:

\(\int_{t_1}^{t_2} (\dot{\theta} \tau) \, dt = W = \int_{t_1}^{t_2} (\mathbf{F} \cdot d\mathbf{t})\) (Equació 43)

On \(\dot{\theta}\) és el vector de velocitat angular i \(\tau\) és el vector de parell aplicat.

Per tant, l'equació es pot simplificar com:

\(\dot{\theta}^T \tau = \dot{\theta}^T \mathbf{J}^T \mathbf{F}\) (Equació 45)

I segueix que:

\(\tau = \mathbf{J}^T \mathbf{F}\) (Equació 46)

Decoupling amb la Matriu Jacobiana

Considerem el braç robotitzat de dos graus de llibertat (2 DOF) amb coordenades de les juntes \(\theta_i\) on \(i = 1\) i \(i = 2\). Un sistema de coordenades cartesianes \(x\) es defineix com corresponent al vector de posició de la junta \(\theta = [\theta_1, \theta_2]^T\), amb vectors de velocitat angular i d'acceleració angular \(\dot{\theta}\) i \(\ddot{\theta}\), respectivament. Si \(x = h(\theta)\), llavors:

\(\dot{x} = \frac{\partial h(\theta)}{\partial \theta} \dot{\theta}\) (Equació 47)

On \(\dot{x}\) és la velocitat lineal, i la matriu Jacobiana \(\mathbf{J}\) es defineix com:

\(\mathbf{J} = \frac{\partial h(\theta)}{\partial \theta}\) (Equació 49)

A partir de l'equació 42, \(\mathbf{F}\) és la sortida del controlador PID i la matriu Jacobiana \(\mathbf{J}\) es dissenya com la part de desacoblament. L'entrada corresponent al braç del robot es pot escriure com:

\(\tau_{PID} = \mathbf{J}^T \mathbf{F}\) (Equació 50)