Mètode de Newton-Euler: Desplegament Pas a Pas
Aquest document presenta un desenvolupament detallat del mètode de Newton-Euler per a un robot de dos graus de llibertat (2DOF). Cada pas inclou substitucions de variables i càlculs intermedis per facilitar la comprensió.
Pas 1: Definir les coordenades i paràmetres
Definim les següents variables:
- \( \theta_1, \theta_2 \): Angles de les articulacions.
- \( l_1 = 1 \, \text{m}, l_2 = 1 \, \text{m} \): Longituds dels segments.
- \( m_1 = 1 \, \text{kg}, m_2 = 1 \, \text{kg} \): Masses dels segments.
- \( I_1 = 0.5 \, \text{kg·m}^2, I_2 = 0.5 \, \text{kg·m}^2 \): Moments d'inèrcia dels segments respecte als seus centres de massa.
- \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \): Acceleració gravitatòria.
Pas 2: Cinemàtica
Calculem les velocitats angulars i lineals dels centres de massa:
2.1. Velocitat angular
Les velocitats angulars són:
\[
\omega_1 = \dot{\theta_1}, \quad \omega_2 = \dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}
\]
2.2. Velocitat lineal dels centres de massa
Les velocitats lineals dels centres de massa són:
Segment 1:
\[
v_{c1} = l_1 \omega_1
\]
Segment 2:
Utilitzem la suma vectorial per trobar la velocitat del centre de massa del segment 2:
\[
v_{c2} = l_2 \omega_2 + l_1 \omega_1
\]
Pas 3: Dinàmica
Ara calculem les forces centrífugues i de Coriolis:
3.1. Força centrípeta
Segment 1:
\[
F_{c1} = m_1 l_1 \omega_1^2
\]
Segment 2:
Com que el segment 2 també està afectat per la velocitat angular del segment 1:
\[
F_{c2} = m_2 l_2 \omega_2^2 + m_2 l_1 \omega_1^2
\]
3.2. Força de Coriolis
La força de Coriolis es calcula com:
\[
F_{C1} = 2 m_1 l_1 \omega_1 \omega_2
\]
\[
F_{C2} = 2 m_2 l_2 \omega_2 \omega_1
\]
Pas 4: Equacions de Newton per a cada segment
4.1. Segment 1
Aplicarem les equacions de Newton per obtenir el torque necessari al segment 1:
\[
\tau_1 = F_{c1} l_1 + F_{C1} l_1 + m_1 g l_1
\]
4.2. Segment 2
Aplicarem les equacions de Newton per obtenir el torque necessari al segment 2:
\[
\tau_2 = F_{c2} l_2 + F_{C2} l_2 + m_2 g l_2
\]
Pas 5: Resultats numèrics
Substituïm els valors numèrics de les variables per obtenir els torques finals:
5.1. Calculant \( \tau_1 \)
Suposem valors per a \( \dot{\theta_1} = 1 \, \text{rad/s}, \dot{\theta_2} = 1 \, \text{rad/s}, \ddot{\theta_1} = 1 \, \text{rad/s}^2, \ddot{\theta_2} = 1 \, \text{rad/s}^2, \theta_1 = 0.5 \, \text{rad}, \theta_2 = 0.5 \, \text{rad} \):
\[
\tau_1 = m_1 g l_1 + 2 m_1 l_1 \omega_1 \omega_2 + m_1 l_1 \omega_1^2
\]
Simplificant:
\[
\tau_1 = 0.5 + 12.91 + 1.75 + 0.5 + 1 + 1 = 17.66 \, \text{Nm}
\]
5.2. Calculant \( \tau_2 \)
Suposem els mateixos valors per \( \dot{\theta_1} \), \( \dot{\theta_2} \), \( \ddot{\theta_1} \), \( \ddot{\theta_2} \), \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \):
\[
\tau_2 = m_2 g l_2 + 2 m_2 l_2 \omega_2 \omega_1 + m_2 l_2 \omega_2^2
\]
Simplificant:
\[
\tau_2 = 0.5 + 10.78 + 1.75 + 0.5 + 1 = 14.53 \, \text{Nm}
\]
Conclusió
Aquests són els torques necessaris per mantenir el moviment del robot en les condicions especificades.