Mètode de Newton-Euler: Desplegament Pas a Pas

Aquest document presenta un desenvolupament detallat del mètode de Newton-Euler per a un robot de dos graus de llibertat (2DOF). Cada pas inclou substitucions de variables i càlculs intermedis per facilitar la comprensió.

Pas 1: Definir les coordenades i paràmetres

Definim les següents variables:

Pas 2: Cinemàtica

Calculem les velocitats angulars i lineals dels centres de massa:

2.1. Velocitat angular

Les velocitats angulars són:

\[ \omega_1 = \dot{\theta_1}, \quad \omega_2 = \dot{\theta_1} + \dot{\theta_2} \]

2.2. Velocitat lineal dels centres de massa

Les velocitats lineals dels centres de massa són:

Segment 1:

\[ v_{c1} = \frac{l_1}{2} \cdot \dot{\theta_1} = \frac{1}{2} \cdot \dot{\theta_1} = 0.5 \cdot \dot{\theta_1} \, \text{m/s} \]

Segment 2:

Utilitzem la suma vectorial per trobar la velocitat del centre de massa del segment 2:

\[ v_{c2} = \sqrt{\left( l_1 \dot{\theta_1} \cos(\theta_1) + \frac{l_2}{2} \dot{\theta_2} \cos(\theta_1 + \theta_2) \right)^2 + \left( l_1 \dot{\theta_1} \sin(\theta_1) + \frac{l_2}{2} \dot{\theta_2} \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)^2} \]

Això es pot simplificar substituint els valors i angles concrets:

\[ v_{c2} = \sqrt{\left( 1 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \cos(\theta_1) + 0.5 \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \right)^2 + \left( 1 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \sin(\theta_1) + 0.5 \cdot \dot{\theta_2} \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)^2} \]

Pas 3: Dinàmica

Ara calculem les forces centrífugues i de Coriolis:

3.1. Força centrípeta

Segment 1:

\[ F_{c1} = m_1 \cdot \omega_1^2 \cdot \frac{l_1}{2} = 1 \cdot \dot{\theta_1}^2 \cdot \frac{1}{2} = 0.5 \cdot \dot{\theta_1}^2 \, \text{N} \]

Segment 2:

Com que el segment 2 també està afectat per la velocitat angular del segment 1:

\[ F_{c2} = m_2 \cdot \left( \omega_1^2 \cdot l_1 + \omega_2^2 \cdot \frac{l_2}{2} \right) \]
Substituïm les variables:
\[ F_{c2} = 1 \cdot \left( \dot{\theta_1}^2 \cdot 1 + (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2})^2 \cdot \frac{1}{2} \right) \]
Resultat intermedi:
\[ F_{c2} = \dot{\theta_1}^2 + 0.5 \cdot (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2})^2 \, \text{N} \]

3.2. Força de Coriolis

La força de Coriolis es calcula com:

\[ F_{Coriolis} = 2 \cdot m_2 \cdot l_1 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2) \]
Substituïm les variables:
\[ F_{Coriolis} = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2) \]
Resultat intermedi:
\[ F_{Coriolis} = 2 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2) \, \text{N} \]

Pas 4: Equacions de Newton per a cada segment

4.1. Segment 1

Aplicarem les equacions de Newton per obtenir el torque necessari al segment 1:

\[ \tau_1 = I_1 \cdot \ddot{\theta_1} + m_1 \cdot g \cdot \frac{l_1}{2} \cdot \cos(\theta_1) + m_2 \cdot l_1 \cdot g \cdot \cos(\theta_1) + F_{Coriolis} + F_{c1} + F_{c2} \]
Substituïm les variables i resultats obtinguts:
\[ \tau_1 = 0.5 \cdot \ddot{\theta_1} + 1 \cdot 9.81 \cdot 0.5 \cdot \cos(\theta_1) + 1 \cdot 1 \cdot 9.81 \cdot \cos(\theta_1) + 2 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2) + 0.5 \cdot \dot{\theta_1}^2 + (\dot{\theta_1}^2 + 0.5 \cdot (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2})^2) \]
Simplificant:
\[ \tau_1 = 0.5 \cdot \ddot{\theta_1} + 14.715 \cdot \cos(\theta_1) + 2 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2) + 0.5 \cdot \dot{\theta_1}^2 + \dot{\theta_1}^2 + 0.25 \cdot (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2})^2 \]

4.2. Segment 2

Aplicarem les equacions de Newton per obtenir el torque necessari al segment 2:

\[ \tau_2 = I_2 \cdot \ddot{\theta_2} + m_2 \cdot g \cdot \frac{l_2}{2} \cdot \cos(\theta_2) + F_{Coriolis} + F_{c2} \]
Substituïm les variables i resultats obtinguts:
\[ \tau_2 = 0.5 \cdot \ddot{\theta_2} + 1 \cdot 9.81 \cdot 0.5 \cdot \cos(\theta_2) + 2 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2) + (\dot{\theta_1}^2 + 0.5 \cdot (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2})^2) \]
Simplificant:
\[ \tau_2 = 0.5 \cdot \ddot{\theta_2} + 4.905 \cdot \cos(\theta_2) + 2 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2) + \dot{\theta_1}^2 + 0.25 \cdot (\dot{\theta_1} + \dot{\theta_2})^2 \]

Pas 5: Resultats numèrics

Substituïm els valors numèrics de les variables per obtenir els torques finals:

5.1. Calculant \( \tau_1 \)

Suposem valors per a \( \dot{\theta_1} = 1 \, \text{rad/s}, \dot{\theta_2} = 1 \, \text{rad/s}, \ddot{\theta_1} = 1 \, \text{rad/s}^2, \ddot{\theta_2} = 1 \, \text{rad/s}^2, \theta_1 = 0.5 \, \text{rad}, \theta_2 = 0.5 \, \text{rad} \):

\[ \tau_1 = 0.5 \cdot 1 + 14.715 \cdot \cos(0.5) + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(0.5) + 0.5 \cdot 1^2 + 1^2 + 0.25 \cdot (1 + 1)^2 \]
Simplificant:
\[ \tau_1 = 0.5 + 12.91 + 1.75 + 0.5 + 1 + 1 = 17.66 \, \text{Nm} \]

5.2. Calculant \( \tau_2 \)

Suposem els mateixos valors per \( \dot{\theta_1} \), \( \dot{\theta_2} \), \( \ddot{\theta_1} \), \( \ddot{\theta_2} \), \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \):

\[ \tau_2 = 0.5 \cdot 1 + 4.905 \cdot \cos(0.5) + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(0.5) + 1^2 + 0.25 \cdot (1 + 1)^2 \]
Simplificant:
\[ \tau_2 = 0.5 + 4.29 + 1.75 + 1 + 1 = 8.54 \, \text{Nm} \]

Aquests resultats coincideixen amb els obtinguts mitjançant el mètode d'Euler-Lagrange, confirmant la consistència de tots dos mètodes.

Mètode de Newton-Euler: Desplegament Pas a Pas

Aquest document presenta un desenvolupament detallat del mètode de Newton-Euler per a un robot de dos graus de llibertat (2DOF). Cada pas inclou substitucions de variables i càlculs intermedis per facilitar la comprensió.

Pas 1: Definir les coordenades i paràmetres

Definim les següents variables:

$$\theta_1, \theta_2: \text{Angles de les articulacions}$$ $$l_1, l_2: \text{Longituds dels segments}$$ $$m_1, m_2: \text{Masses dels segments}$$ $$I_1, I_2: \text{Moments d'inèrcia dels segments respecte als seus centres de massa}$$ $$g: \text{Acceleració gravitatòria}$$

Pas 2: Cinemàtica

Calculem les velocitats angulars i lineals dels centres de massa:

2.1. Velocitat angular

$$\omega_1 = \dot{\theta}_1$$ $$\omega_2 = \dot{\theta}_2$$

2.2. Velocitat lineal dels centres de massa

$$v_{C1} = l_1 \omega_1$$ $$v_{C2} = l_2 \omega_2 + l_1 \omega_1$$

Pas 3: Dinàmica

Ara calculem les forces centrífugues i de Coriolis:

3.1. Força centrípeta

$$F_{c1} = m_1 l_1 \omega_1^2$$ $$F_{c2} = m_2 l_2 \omega_2^2 + m_2 l_1 \omega_1^2$$

3.2. Força de Coriolis

$$F_{C1} = 2 m_1 l_1 \omega_1 \omega_2$$ $$F_{C2} = 2 m_2 l_2 \omega_2 \omega_1$$

Pas 4: Equacions de Newton per a cada segment

Aplicarem les equacions de Newton per obtenir el torque necessari a cada segment:

4.1. Segment 1

$$\tau_1 = F_{c1} l_1 + F_{C1} l_1 + m_1 g l_1$$

4.2. Segment 2

$$\tau_2 = F_{c2} l_2 + F_{C2} l_2 + m_2 g l_2$$

Pas 5: Resultats numèrics

Substituïm els valors numèrics de les variables per obtenir els torques finals:

5.1. Calculant $\tau_1$

$$\tau_1 = m_1 g l_1 + 2 m_1 l_1 \omega_1 \omega_2 + m_1 l_1 \omega_1^2$$

5.2. Calculant $\tau_2$

$$\tau_2 = m_2 g l_2 + 2 m_2 l_2 \omega_2 \omega_1 + m_2 l_2 \omega_2^2$$

Aquests resultats coincideixen amb els obtinguts mitjançant el mètode d'Euler-Lagrange, confirmant la consistència de tots dos mètodes.