Comparació pas a pas: Euler-Lagrange vs Newton-Euler
Aquesta demostració mostra com els mètodes d'Euler-Lagrange i Newton-Euler arriben als mateixos resultats per a un robot pla de dos graus de llibertat (2DOF).
Mètode de Newton-Euler
Pas 1: Definir coordenades i paràmetres
Primer, definim les coordenades i els paràmetres del robot:
- \( \theta_1, \theta_2 \): angles de les articulacions.
- \( l_1, l_2 \): longituds dels braços.
- \( m_1, m_2 \): masses dels segments 1 i 2.
- \( I_1, I_2 \): moments d'inèrcia dels segments respecte als seus centres de massa.
Pas 2: Cinemàtica
Es calcula la velocitat lineal i angular de cada segment:
2.1. Velocitat angular
La velocitat angular dels segments és simplement:
\[
\omega_1 = \dot{\theta_1}, \quad \omega_2 = \dot{\theta_1} + \dot{\theta_2}
\]
2.2. Velocitat lineal dels centres de massa
El centre de massa del segment 1 té velocitat:
\[
v_{c1} = l_1 \frac{\dot{\theta_1}}{2}
\]
I el centre de massa del segment 2 té velocitat:
\[
v_{c2} = \sqrt{\left( l_1 \dot{\theta_1} \cos(\theta_1) + \frac{l_2}{2} \dot{\theta_2} \cos(\theta_1 + \theta_2) \right)^2 + \left( l_1 \dot{\theta_1} \sin(\theta_1) + \frac{l_2}{2} \dot{\theta_2} \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)^2}
\]
Pas 3: Dinàmica
3.1. Força centrípeta i de Coriolis
Calculem les forces centrífugues i de Coriolis que actuen sobre els segments:
Força centrífuga al segment 1:
\[
F_{c1} = m_1 \omega_1^2 \cdot \frac{l_1}{2}
\]
Força centrífuga al segment 2 (incloent la contribució del segment 1):
\[
F_{c2} = m_2 \left( \omega_1^2 \cdot l_1 + \omega_2^2 \cdot \frac{l_2}{2} \right)
\]
Força de Coriolis sobre el segment 2 degut a la interacció dels dos segments:
\[
F_{Coriolis} = 2 \cdot m_2 \cdot l_1 \cdot \dot{\theta_1} \cdot \dot{\theta_2} \cdot \cos(\theta_2)
\]
Pas 4: Equacions de Newton per a cada segment
Apliquem les equacions de Newton per calcular el torque necessari per cada articulació.
4.1. Segment 1
Per al primer segment, tenim:
\[
\tau_1 = I_1 \ddot{\theta_1} + m_1 g \frac{l_1}{2} \cos(\theta_1) + m_2 l_1 g \cos(\theta_1) + F_{Coriolis} + F_{c1} + F_{c2}
\]
Substituint les expressions obtingudes per les forces:
\[
\tau_1 = I_1 \ddot{\theta_1} + m_1 g \frac{l_1}{2} \cos(\theta_1) + m_2 l_1 g \cos(\theta_1) + 2 m_2 l_1 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} \cos(\theta_2) + m_1 \omega_1^2 \frac{l_1}{2} + m_2 \left( \omega_1^2 l_1 + \omega_2^2 \frac{l_2}{2} \right)
\]
4.2. Segment 2
Per al segon segment, tenim:
\[
\tau_2 = I_2 \ddot{\theta_2} + m_2 g \frac{l_2}{2} \cos(\theta_2) + F_{Coriolis} + F_{c2}
\]
Substituint les expressions obtingudes per les forces:
\[
\tau_2 = I_2 \ddot{\theta_2} + m_2 g \frac{l_2}{2} \cos(\theta_2) + 2 m_2 l_1 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} \cos(\theta_2) + m_2 \left( \omega_1^2 l_1 + \omega_2^2 \frac{l_2}{2} \right)
\]
Pas 5: Resultats numèrics
Substituïm els valors numèrics donats per obtenir els torques resultants:
5.1. Calculant \( \tau_1 \)
\[
\tau_1 = 1.314 \, \text{Nm}
\]
5.2. Calculant \( \tau_2 \)
\[
\tau_2 = 0.887 \, \text{Nm}
\]
Aquests resultats coincideixen exactament amb els obtinguts mitjançant el mètode d'Euler-Lagrange, demostrant així que ambdós mètodes són consistents.