| Característica | Mètode d'Euler-Lagrange | Mètode de Newton-Euler |
|---|---|---|
| Fonament Teòric | Basat en la mecànica analítica. Utilitza energia cinètica i potencial per derivar les equacions del moviment. | Basat en la segona llei de Newton. Aplica directament forces i moments en cada enllaç del robot. |
| Equacions Fonamentals | Equacions de Lagrange, derivades de la funció Lagrangiana \( L = T - V \), on \( T \) és l'energia cinètica i \( V \) la potencial. | Segona Llei de Newton i l'equació d'Euler per a rotacions: \( \mathbf{F} = m\mathbf{a} \) i \( \boldsymbol{\tau} = I\boldsymbol{\alpha} \). |
| Número d'Equacions | Igual al nombre de graus de llibertat (DOF) del robot. | Dos equacions per cada articulació: una per la translació i l'altra per la rotació. |
| Variables Utilitzades | Variables generalitzades, que són típicament les coordenades articulars (angles o desplaçaments). | Forces i moments sobre cada enllaç, a més de velocitats i acceleracions lineals i angulars. |
| Simplicitat per a Sistemes Complexos | Gestiona sistemes complexos de manera més directa, ja que redueix el nombre d'equacions a través de variables generalitzades. | Es torna més complicat i extens a mesura que augmenta el nombre d'enllaços i DOF. |
| Aplicabilitat | Ideal per a sistemes amb múltiples graus de llibertat i on predominen les forces conservatives. | Més intuïtiu per a sistemes simples i pot ser preferit en anàlisi numèric degut al seu enfocament directe en forces i moments. |
| Naturalesa de les Equacions | No lineals, altament acoblades, en funció del temps i de les variables generalitzades. | Lineals en termes de forces, però poden ser no lineals degut a les acceleracions relatives i les forces centrífugues i de Coriolis. |
| Computacional | Requereix derivades parcials, el que pot complicar la implementació, però és eficient per obtenir la dinàmica completa del sistema. | Pot ser computacionalment intensiu degut al càlcul de forces i moments per a cada enllaç, especialment en robots amb molts graus de llibertat. |
| Avantatges | Proporciona un enfocament sistemàtic per derivar les equacions de moviment, útil per a anàlisi teòrics i simulacions. | Proporciona una anàlisi més intuïtiva de forces i moments, útil per al disseny i control de robots. |
| Desavantatges | Pot ser menys intuïtiu i difícil d'aplicar per a enginyers no familiaritzats amb la mecànica analítica. | Es torna més complex amb l'augment del nombre d'articulacions i graus de llibertat. |
Considerem un robot pla amb dos enllaços de les següents característiques:
Primer calculem l'energia cinètica i potencial del sistema:
\[ T = \frac{1}{2} I_1 \dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 \left[ (l_1 \dot{\theta_1})^2 + (\frac{l_2}{2} \dot{\theta_2})^2 + 2 l_1 \frac{l_2}{2} \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} \cos(\theta_2 - \theta_1) \right] + \frac{1}{2} I_2 \dot{\theta_2}^2 \] \[ V = m_1 g \frac{l_1}{2} \cos(\theta_1) + m_2 g \left( l_1 \cos(\theta_1) + \frac{l_2}{2} \cos(\theta_2) \right) \] La Lagrangiana es defineix com \( L = T - V \). Aplicant les equacions de Lagrange: \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}}\right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = 0 \quad \text{i} \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}}\right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = 0 \] Substituint els valors numèrics: \[ \tau_1 = 1.314 \, \text{Nm} \quad \text{i} \quad \tau_2 = 0.887 \, \text{Nm} \]
Per al mateix robot pla, calculem les forces i moments sobre cada enllaç:
\[ \mathbf{F}_1 = m_1 \mathbf{a}_1 + m_1 g \mathbf{j} \quad \text{i} \quad \mathbf{F}_2 = m_2 \mathbf{a}_2 + m_2 g \mathbf{j} \] \[ \boldsymbol{\tau}_1 = I_1 \alpha_1 + \mathbf{r}_1 \times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2 \times \mathbf{F}_2 \quad \text{i} \quad \boldsymbol{\tau}_2 = I_2 \alpha_2 \] Substituint els valors numèrics i tenint en compte les mateixes condicions inicials: \[ \tau_1 = 1.314 \, \text{Nm} \quad \text{i} \quad \tau_2 = 0.887 \, \text{Nm} \]
Aquests resultats coincideixen amb els obtinguts mitjançant el mètode d'Euler-Lagrange.