| Característica | Mètode d'Euler-Lagrange | Mètode de Newton-Euler |
|---|---|---|
| Fonament Teòric | Basat en la mecànica analítica. Utilitza energia cinètica i potencial per derivar les equacions del moviment. | Basat en la segona llei de Newton. Aplica directament forces i moments en cada enllaç del robot. |
| Equacions Fonamentals | Equacions de Lagrange, derivades de la funció Lagrangiana \( L = T - V \), on \( T \) és l'energia cinètica i \( V \) la potencial. | Segona Llei de Newton i l'equació d'Euler per a rotacions: \( \mathbf{F} = m\mathbf{a} \) i \( \boldsymbol{\tau} = I\boldsymbol{\alpha} \). |
| Número d'Equacions | Igual al nombre de graus de llibertat (DOF) del robot. | Dos equacions per cada articulació: una per la translació i l'altra per la rotació. |
| Variables Utilitzades | Variables generalitzades, que són típicament les coordenades articulars (angles o desplaçaments). | Forces i moments sobre cada enllaç, a més de velocitats i acceleracions lineals i angulars. |
| Simplicitat per a Sistemes Complexos | Gestiona sistemes complexos de manera més directa, ja que redueix el nombre d'equacions a través de variables generalitzades. | Es torna més complicat i extens a mesura que augmenta el nombre d'enllaços i DOF. |
| Aplicabilitat | Ideal per a sistemes amb múltiples graus de llibertat i on predominen les forces conservatives. | Més intuïtiu per a sistemes simples i pot ser preferit en anàlisi numèric degut al seu enfocament directe en forces i moments. |
| Naturalesa de les Equacions | No lineals, altament acoblades, en funció del temps i de les variables generalitzades. | Lineals en termes de forces, però poden ser no lineals degut a les acceleracions relatives i les forces centrífugues i de Coriolis. |
| Computacional | Requereix derivades parcials, el que pot complicar la implementació, però és eficient per obtenir la dinàmica completa del sistema. | Pot ser computacionalment intensiu degut al càlcul de forces i moments per a cada enllaç, especialment en robots amb molts graus de llibertat. |
| Avantatges | Proporciona un enfocament sistemàtic per derivar les equacions de moviment, útil per a anàlisi teòrics i simulacions. | Proporciona una anàlisi més intuïtiva de forces i moments, útil per al disseny i control de robots. |
| Desavantatges | Pot ser menys intuïtiu i difícil d'aplicar per a enginyers no familiaritzats amb la mecànica analítica. | Es torna més complex amb l'augment del nombre d'articulacions i graus de llibertat. |
Considerem un robot pla amb dos enllaços de longituds \( l_1 \) i \( l_2 \) i masses \( m_1 \) i \( m_2 \). Les coordenades generalitzades són els angles \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \). L'energia cinètica i potencial són:
\[ T = \frac{1}{2} m_1 \left(\dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2\right) + \frac{1}{2} m_2 \left(\dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2\right) \] \[ V = m_1 g y_1 + m_2 g y_2 \] On \( (x_1, y_1) \) i \( (x_2, y_2) \) són les coordenades dels centres de massa dels enllaços. La Lagrangiana es defineix com \( L = T - V \).
Aplicant les equacions de Lagrange, obtenim les equacions de moviment per \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \).
Per al mateix robot pla, les forces i moments aplicats a cada enllaç es poden determinar utilitzant la segona llei de Newton per translacions i l'equació d'Euler per rotacions:
\[ m_1 \mathbf{a}_1 = \mathbf{F}_{\text{externa}_1} + \mathbf{F}_{\text{enllaç}_2} - m_1 g \mathbf{j} \] \[ \boldsymbol{\tau}_1 = \mathbf{r}_1 \times \mathbf{F}_{\text{externa}_1} + \mathbf{r}_2 \times \mathbf{F}_{\text{enllaç}_2} - I_1 \boldsymbol{\alpha}_1 \] On \( \mathbf{a}_1 \) és l'acceleració del centre de massa del primer enllaç, \( \mathbf{F}_{\text{externa}_1} \) és la força aplicada externament, \( \mathbf{F}_{\text{enllaç}_2} \) és la força transmesa des del segon enllaç, i \( I_1 \) és el moment d'inèrcia del primer enllaç.