Matemàtiques del Braç Robòtic: Posició i Velocitat

Normalment, el manipulador serà capaç de detectar la seva pròpia posició d'alguna manera utilitzant sensors interns (codificadors de posició situats a les juntes 1 i 2) que poden mesurar directament els angles de les juntes $ \theta_1 $ i $ \theta_2 $. També necessitem expressar les posicions de les articulacions $ L_1 $ i $ L_2 $ en termes d'aquests angles de les juntes. És habitual establir un sistema de coordenades fix, anomenat marc base o del món, al qual es refereixen tots els objectes, incloent el manipulador.

Equacions Cinemàtiques Directes

Les equacions cinemàtiques directes permeten determinar la posició de l'eina final (el punt $ (x, y) $) en funció dels angles de les juntes i les longituds dels enllaços del braç robòtic.

Les longituds dels segments del braç robòtic es denoten com $ L_1 $ i $ L_2 $, que corresponen a les distàncies entre les juntes i l'eina final. Els angles de les juntes es denoten com $ \theta_1 $ i $ \theta_2 $.

$$ x = L_1 \cos \theta_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) $$ $$ y = L_1 \sin \theta_1 + L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) $$

Exemple Numèric

Considerem un braç robòtic amb les següents característiques:

$ L_1 = 3 $ metres
$ L_2 = 2 $ metres
$ \theta_1 = 45^\circ $ (convertit a radians és $ \theta_1 = \frac{\pi}{4} $ rad)
$ \theta_2 = 30^\circ $ (convertit a radians és $ \theta_2 = \frac{\pi}{6} $ rad)

Substituint aquests valors a les equacions cinemàtiques directes, obtenim:

$$ x = 3 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) $$ $$ y = 3 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) $$

Calculem els resultats numèrics:

$$ x = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$ $$ y = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

Després de simplificar, obtenim:

$$ x \approx 3 \times 0.707 + 2 \times 0.9659 \approx 2.121 + 1.9318 \approx 4.0528 \text{ metres} $$ $$ y \approx 3 \times 0.707 + 2 \times 0.2588 \approx 2.121 + 0.5176 \approx 2.6386 \text{ metres} $$

Velocitat Cinemàtica

Per seguir un contorn a velocitat constant, o a qualsevol velocitat prescrita, hem de conèixer la relació entre la velocitat de l'eina final (les derivades $ \dot{x} $ i $ \dot{y} $) i les velocitats angulars de les juntes $ \dot{\theta}_1 $ i $ \dot{\theta}_2 $.

La notació amb punts sobre les lletres, com $ \dot{x} $ o $ \dot{\theta}_1 $, indica una derivada respecte al temps. Això significa que $ \dot{x} $ representa la velocitat del punt $ x $ i $ \dot{\theta}_1 $ representa la velocitat angular de la junta 1.

$$ \dot{x} = -L_1 \sin \theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 - L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2)(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2) $$ $$ \dot{y} = L_1 \cos \theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2)(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2) $$

Raonament del Jacobià Pas a Pas

El jacobià és una matriu que relaciona les velocitats angulars de les juntes $ \dot{\theta}_1 $ i $ \dot{\theta}_2 $ amb les velocitats lineals $ \dot{x} $ i $ \dot{y} $ del punt final del braç robòtic.

Per a un braç robòtic de dues juntes, el jacobià $ J $ es defineix com:

$$ J = \left[\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial x}{\partial \theta_2} \\ \frac{\partial y}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_2} \end{array}\right] $$

Això vol dir que $ J $ conté les derivades parcials de les coordenades $ x $ i $ y $ respecte a $ \theta_1 $ i $ \theta_2 $. Per calcular el jacobià:

$ \frac{\partial x}{\partial \theta_1} = -L_1 \sin \theta_1 - L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) $
$ \frac{\partial x}{\partial \theta_2} = -L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) $
$ \frac{\partial y}{\partial \theta_1} = L_1 \cos \theta_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) $
$ \frac{\partial y}{\partial \theta_2} = L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) $

Així, el jacobià $ J $ per aquest braç robòtic és:

$$ J = \left[\begin{array}{cc} -L_1 \sin \theta_1 - L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) & -L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) \\ L_1 \cos \theta_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) & L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) \end{array}\right] $$

Per calcular les velocitats lineals $ \dot{x} $ i $ \dot{y} $, multipliquem el jacobià $ J $ per les velocitats angulars $ \dot{\theta}_1 $ i $ \dot{\theta}_2 $:

$$ \dot{x} = J \cdot \dot{\theta} $$

Ara, calculem $ \dot{y} $ pas a pas utilitzant els valors de l'exemple anterior:

Primer, calculem $ \dot{\theta}_1 = 0.5 $ rad/s i $ \dot{\theta}_2 = 0.3 $ rad/s
El terme $ L_1 \cos \theta_1 $ es calcula com $ 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2.121 $
El terme $ L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) $ es calcula com $ 2 \times \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.9318 $
El valor de $ \dot{y} $ és la suma d'aquests termes multiplicats per $ \dot{\theta}_1 $ i $ \dot{\theta}_2 $:

$$ \dot{y} \approx 2.121 \times 0.5 + 1.9318 \times (0.5 + 0.3) $$

$$ \dot{y} \approx 1.0605 + 1.5454 = 2.6059 \text{ metres/s} $$

Així, la velocitat en la direcció $ y $ del punt final del braç robòtic és aproximadament $ 2.606 $ metres/s.