Càlculs Matemàtics per a un Braç Robòtic de Dues Juntes
Cinemàtica Directa
Recordem les equacions cinemàtiques directes que ens permeten calcular la posició de l'eina final \( (x, y) \) en funció dels angles de les juntes \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \), i les longituds dels segments \( L_1 \) i \( L_2 \).
$$ x = L_1 \cos \theta_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) $$
$$ y = L_1 \sin \theta_1 + L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) $$
Suposem que \( L_1 = 1.5 \) m, \( L_2 = 1 \) m, \( \theta_1 = 45^\circ \) i \( \theta_2 = 30^\circ \).
$$ x = 1.5 \cdot \cos(45^\circ) + 1 \cdot \cos(75^\circ) \approx 1.5 \cdot 0.707 + 1 \cdot 0.966 \approx 1.061 + 0.966 \approx 2.027 \text{ m} $$
$$ y = 1.5 \cdot \sin(45^\circ) + 1 \cdot \sin(75^\circ) \approx 1.5 \cdot 0.707 + 1 \cdot 0.259 \approx 1.061 + 0.966 \approx 1.836 \text{ m} $$
Cinemàtica Inversa
Ara, calculem els angles \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \) necessaris per arribar a una posició específica \( (x, y) \). Les equacions són:
$$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$
$$ \theta_2 = \cos^{-1}\left(\frac{x^2 + y^2 - L_1^2 - L_2^2}{2 L_1 L_2}\right) $$
$$ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{L_2 \sin(\theta_2)}{L_1 + L_2 \cos(\theta_2)}\right) $$
Suposem que \( x = 2.027 \) m i \( y = 1.836 \) m.
$$ r = \sqrt{(2.027)^2 + (1.836)^2} \approx \sqrt{4.108 + 3.372} \approx \sqrt{7.480} \approx 2.734 \text{ m} $$
$$ \theta_2 = \cos^{-1}\left(\frac{(2.027)^2 + (1.836)^2 - (1.5)^2 - (1)^2}{2 \cdot 1.5 \cdot 1}\right) \approx \cos^{-1}(0.5) \approx 60^\circ $$
$$ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{1.836}{2.027}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1 \cdot \sin(60^\circ)}{1.5 + 1 \cdot \cos(60^\circ)}\right) \approx 42.27^\circ - 19.47^\circ \approx 22.8^\circ $$
Determinant del Jacobian i Singularitats
Ara, calculem el determinant del jacobià \( J \) per identificar les possibles singularitats del sistema.
$$ \text{Det}(J) = L_1 L_2 \sin(\theta_2) $$
Amb els valors donats, \( L_1 = 1.5 \) m, \( L_2 = 1 \) m, i \( \theta_2 = 30^\circ \), el determinant és:
$$ \text{Det}(J) = 1.5 \cdot 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1.5 \cdot 0.5 = 0.75 $$
El determinant és diferent de zero, per tant el sistema no es troba en una posició singular. Si \( \sin(\theta_2) = 0 \), el sistema estaria en una singularitat, la qual cosa implicaria que els segments del braç estan completament alineats.
Càlcul de Forces a les Juntes
Suposem que hi ha una força \( \vec{F} = [F_x, F_y] \) a l'eina final. Les forces a les juntes \( \tau_1 \) i \( \tau_2 \) es calculen utilitzant la transposada del jacobià:
$$ \vec{\tau} = J^T \vec{F} $$
Si \( \vec{F} = [10, 15] \) N, la transposada del jacobià és:
$$ J^T = \left[\begin{array}{cc}
-L_1 \sin(\theta_1) - L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\
-L_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)
\end{array}\right] $$
$$ \vec{\tau} = \left[\begin{array}{cc}
-1.5 \cdot \sin(45^\circ) - 1 \cdot \sin(75^\circ) & 1.5 \cdot \cos(45^\circ) + 1 \cdot \cos(75^\circ) \\
-1 \cdot \sin(75^\circ) & 1 \cdot \cos(75^\circ)
\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}
10 \\
15
\end{array}\right] $$
Després del càlcul, obtenim les forces necessàries a les juntes \( \tau_1 \) i \( \tau_2 \) per mantenir la força especificada a l'eina.