Càlculs Matemàtics per a un Braç Robòtic de Dues Juntes

Cinemàtica Directa

Recordem les equacions cinemàtiques directes que ens permeten calcular la posició de l'eina final $(x,y)$ en funció dels angles de les juntes ${\theta }_1$ i ${\theta }_2$, i les longituds dels segments $L_1$ i $L_2$.

Suposem que $L_1=1.5$ m, $L_2=1$ m, ${\theta }_1={45}^{\circ }$ i ${\theta }_2={30}^{\circ }$.

Cinemàtica Inversa

Ara, calculem els angles ${\theta }_1$ i ${\theta }_2$ necessaris per arribar a una posició específica $(x,y)$. Les equacions són:

Suposem que $x=2.027$ m i $y=1.836$ m.

Determinant del Jacobian i Singularitats

Ara, calculem el determinant del jacobià $J$ per identificar les possibles singularitats del sistema.

Amb els valors donats, $L_1=1.5$ m, $L_2=1$ m, i ${\theta }_2={30}^{\circ }$, el determinant és:

El determinant és diferent de zero, per tant el sistema no es troba en una posició singular. Si $\sin ({\theta }_2)=0$, el sistema estaria en una singularitat, la qual cosa implicaria que els segments del braç estan completament alineats.

Càlcul de Forces a les Juntes

Suposem que hi ha una força $\overrightarrow{F}=[F_x,F_y]$ a l'eina final. Les forces a les juntes ${\tau }_1$ i ${\tau }_2$ es calculen utilitzant la transposada del jacobià:

Si $\overrightarrow{F}=[10,15]$ N, la transposada del jacobià és:

Després del càlcul, obtenim les forces necessàries a les juntes ${\tau }_1$ i ${\tau }_2$ per mantenir la força especificada a l'eina.