Matemàtiques del Braç Robòtic: Posició i Velocitat

Normalment, el manipulador serà capaç de detectar la seva pròpia posició d'alguna manera utilitzant sensors interns (codificadors de posició situats a les juntes 1 i 2) que poden mesurar directament els angles de les juntes \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \). També necessitem expressar les posicions de les articulacions \( L_1 \) i \( L_2 \) en termes d'aquests angles de les juntes. És habitual establir un sistema de coordenades fix, anomenat marc base o del món, al qual es refereixen tots els objectes, incloent el manipulador.

Equacions Cinemàtiques Directes

Les equacions cinemàtiques directes permeten determinar la posició de l'eina final (el punt \( (x, y) \)) en funció dels angles de les juntes i les longituds dels enllaços del braç robòtic.

Les longituds dels segments del braç robòtic es denoten com \( L_1 \) i \( L_2 \), que corresponen a les distàncies entre les juntes i l'eina final. Els angles de les juntes es denoten com \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \).

$$ x = L_1 \cos \theta_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) $$ $$ y = L_1 \sin \theta_1 + L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) $$

Exemple Numèric

Considerem un braç robòtic amb les següents característiques:

Substituint aquests valors a les equacions cinemàtiques directes, obtenim:

$$ x = 3 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) $$ $$ y = 3 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) $$

Calculem els resultats numèrics:

$$ x = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$ $$ y = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

Després de simplificar, obtenim:

$$ x \approx 3 \times 0.707 + 2 \times 0.9659 \approx 2.121 + 1.9318 \approx 4.0528 \text{ metres} $$ $$ y \approx 3 \times 0.707 + 2 \times 0.2588 \approx 2.121 + 0.5176 \approx 2.6386 \text{ metres} $$

Velocitat Cinemàtica

Per seguir un contorn a velocitat constant, o a qualsevol velocitat prescrita, hem de conèixer la relació entre la velocitat de l'eina final (les derivades \( \dot{x} \) i \( \dot{y} \)) i les velocitats angulars de les juntes \( \dot{\theta}_1 \) i \( \dot{\theta}_2 \).

La notació amb punts sobre les lletres, com \( \dot{x} \) o \( \dot{\theta}_1 \), indica una derivada respecte al temps. Això significa que \( \dot{x} \) representa la velocitat del punt \( x \) i \( \dot{\theta}_1 \) representa la velocitat angular de la junta 1.

$$ \dot{x} = -L_1 \sin \theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 - L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2)(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2) $$ $$ \dot{y} = L_1 \cos \theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2)(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2) $$

Raonament del Jacobià Pas a Pas

El jacobià és una matriu que relaciona les velocitats angulars de les juntes \( \dot{\theta}_1 \) i \( \dot{\theta}_2 \) amb les velocitats lineals \( \dot{x} \) i \( \dot{y} \) del punt final del braç robòtic.

Per a un braç robòtic de dues juntes, el jacobià \( J \) es defineix com:

$$ J = \left[\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial x}{\partial \theta_2} \\ \frac{\partial y}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_2} \end{array}\right] $$

Això vol dir que \( J \) conté les derivades parcials de les coordenades \( x \) i \( y \) respecte a \( \theta_1 \) i \( \theta_2 \). Per calcular el jacobià:

Així, el jacobià \( J \) per aquest braç robòtic és:

$$ J = \left[\begin{array}{cc} -L_1 \sin \theta_1 - L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) & -L_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) \\ L_1 \cos \theta_1 + L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) & L_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) \end{array}\right] $$

Per calcular les velocitats lineals \( \dot{x} \) i \( \dot{y} \), multipliquem el jacobià \( J \) per les velocitats angulars \( \dot{\theta}_1 \) i \( \dot{\theta}_2 \):

$$ \dot{x} = J \cdot \dot{\theta} $$

Utilitzant els valors de l'exemple anterior, substituïm:

$$ \dot{x} = \left[\begin{array}{cc} -2.121 - 0.9659 & -0.9659 \\ 2.121 + 1.9318 & 1.9318 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.3 \end{array}\right] $$
$$ \dot{x} \approx \left[\begin{array}{c} -0.60548 - 0.38636 = -0.99184 \text{ metres/s} \\ 0.40524 + 0.38636 = 0.7916 \text{ metres/s} \end{array}\right] $$

Això ens dóna les velocitats lineals \( \dot{x} \) i \( \dot{y} \), que representen com de ràpid es mou el punt final del braç robòtic en l'espai cartesà en les direccions \( x \) i \( y \), respectivament.