Algoritme de Newton-Euler en Robòtica

L'algoritme de Newton-Euler és una tècnica fonamental en robòtica utilitzada per calcular les dinàmiques d'un sistema robòtic, especialment per determinar les forces i moments necessaris per aconseguir un moviment desitjat. Aquest algoritme combina les lleis del moviment de Newton (forces lineals) i les d'Euler (forces rotacionals).

Aplicació en Robòtica

En robòtica, aquest algoritme és clau per a la dinàmica inversa, on es calculen les forces i moments necessaris per generar un moviment donat. Aquestes forces es calculen per a cada junta d'un robot, basant-se en les velocitats i acceleracions desitjades.

Pas a Pas de l'Algoritme en Robòtica

1. Propagació cap Endavant (Cinemàtica)

Cinemàtica Directa: Es calcula la velocitat i acceleració de cada segment del robot, començant des de la base fins a l'efector final.
Velocitats: Es determinen les velocitats lineals i angulars de cada segment.
Acceleracions: Es calculen les acceleracions tenint en compte les forces aplicades.

2. Propagació cap Enrere (Dinàmica)

Forces i Moments: Es calculen les forces i moments necessaris per a cada junta, començant per l'efector final i treballant cap a la base.
Equilibri de Forces: S'utilitzen les lleis de Newton i Euler per determinar les accions que cada junta ha de realitzar.
Es consideren les forces externes com la gravetat i la inèrcia.

Algoritme de Newton-Euler en General

En un context més general, l'algoritme es pot aplicar a qualsevol sistema de cossos rígids per calcular les forces i moments que resulten en un moviment determinat.

1. Equacions de Newton (Forces Lineals)

Basades en la segona llei de Newton: F = ma, on F és la força, m és la massa, i a és l'acceleració.

2. Equacions d'Euler (Forces Rotacionals)

Basades en l'equivalent rotacional de la segona llei de Newton: τ = Iα, on τ és el moment o torque, I és el tensor d'inèrcia, i α és l'acceleració angular.

Nota: L'algoritme de Newton-Euler és especialment valuós en robòtica per la seva eficiència en el càlcul en temps real, permetent un control precís i ràpid dels moviments del robot.

Avantatges i Aplicacions

Eficiència Computacional: Molt eficient per robots amb molts graus de llibertat.
Versatilitat: Aplicable a una àmplia gamma de sistemes dinàmics.
Control en Temps Real: Permet un control en temps real dels robots, especialment útil en aplicacions industrials.

Conclusió

L'algoritme de Newton-Euler és una eina essencial per a la determinació de les dinàmiques en sistemes de cossos rígids, amb una aplicació particularment important en robòtica. La seva capacitat per calcular forces i moments amb eficiència fa que sigui indispensable en el disseny i control de robots moderns.

Algoritme de Newton-Euler: Explicació Recursiva

L'algoritme de Newton-Euler és recursiu perquè el càlcul de les forces i moments necessaris per moure un robot es realitza en dues fases successives que depenen les unes de les altres:

Propagació cap endavant: Es calculen les velocitats i acceleracions de cada segment del robot des de la base fins a l'extrem.
Propagació cap enrere: Es calculen les forces i moments necessaris per a cada junta començant des de l'extrem fins a la base.

Exemple Numèric

Considerem un braç robòtic amb dues juntes (dues barres) connectades en sèrie. Els paràmetres del sistema són:

Segment 1: Longitud $ l_1 = 1 $ metre, massa $ m_1 = 2 $ kg
Segment 2: Longitud $ l_2 = 0.5 $ metres, massa $ m_2 = 1 $ kg

Propagació cap endavant:

Partint de la base, calculem la velocitat angular i l'acceleració del primer segment. Suposem que la velocitat angular del primer segment és $ \dot{\theta}_1 = 2 $ rad/s i l'acceleració angular és $ \ddot{\theta}_1 = 1 $ rad/s².

$$ v_1 = \dot{\theta}_1 \times l_1 = 2 \times 1 = 2 \, \text{m/s} $$

Pel segon segment, la velocitat angular és la mateixa que per al primer, però la seva acceleració angular és la suma de les acceleracions del primer segment més la contribució addicional de la velocitat angular del primer segment.

$$ \dot{\theta}_2 = \dot{\theta}_1 = 2 \, \text{rad/s} $$ $$ \ddot{\theta}_2 = \ddot{\theta}_1 + \dot{\theta}_1 \times \text{contribució} = 1 + \dot{\theta}_1 \times 0.5 = 1 + 2 \times 0.5 = 2 \, \text{rad/s}^2 $$

Propagació cap enrere:

Comencem pel segon segment i calculem la força i moment necessaris per suportar l'acceleració calculada:

$$ F_2 = m_2 \times a_2 = 1 \times 2 = 2 \, \text{N} $$ $$ \tau_2 = I_2 \times \ddot{\theta}_2 = \frac{1}{3} m_2 l_2^2 \times 2 = \frac{1}{3} \times 1 \times 0.5^2 \times 2 = \frac{1}{3} \times 0.25 \times 2 = \frac{1}{3} \times 0.5 = 0.167 \, \text{Nm} $$

La força i el moment sobre el primer segment hauran de tenir en compte les contribucions de l'efector final (segment 2):

$$ F_1 = F_2 + m_1 \times a_1 = 2 + 2 \times 1 = 4 \, \text{N} $$ $$ \tau_1 = \tau_2 + I_1 \times \ddot{\theta}_1 = 0.167 + \frac{1}{3} \times 2 \times 1^2 \times 1 = 0.167 + 0.667 = 0.834 \, \text{Nm} $$

Aquest procés es continua de manera recursiva per a robots amb més segments o graus de llibertat, propagant els càlculs cap endavant i cap enrere fins que es determinin totes les forces i moments necessaris.