Problema: En robòtica, és essencial controlar les rotacions dels braços robòtics, càmeres i altres components. Les rotacions en l'espai tridimensional poden ser complicades quan es representen amb matrius o angles d'Euler, a causa de problemes com el bloqueig de cardans.
Solució amb Quaternions: Els quaternions proporcionen una manera compacta, eficient i lliure de singularitats per representar rotacions. Això permet a un robot girar amb precisió i suavitat sense complicacions matemàtiques.
Problema: En moltes aplicacions robòtiques, es necessita una interpolació suau entre dues orientacions per planificar moviments suaus (per exemple, per fer que un braç robòtic es mogui d'una posició a una altra seguint una trajectòria natural).
Solució amb Quaternions: L'ús dels quaternions permet utilitzar la tècnica de Slerp (Spherical Linear Interpolation), que proporciona una interpolació lineal suau entre dues orientacions, la qual cosa és crucial per a moviments fluids.
Problema: Drones i aeronaus necessiten mantenir-se estables en vol, ajustant constantment la seva orientació per compensar el vent, canvis en la càrrega, o altres forces externes.
Solució amb Quaternions: Els quaternions s'utilitzen per calcular i ajustar la rotació d'aquestes aeronaus amb gran precisió, permetent moviments de vol estables i precisos en qualsevol condició.
Problema: La cinemàtica inversa és una part fonamental del control robòtic, on es calcula com ha de moure's cada junta d'un robot per assolir una posició i orientació desitjada.
Solució amb Quaternions: Quan es treballa amb rotacions, els quaternions permeten un càlcul més senzill i estable de les trajectòries. Això és especialment útil en robots amb molts graus de llibertat, on les trajectòries han de ser calculades amb precisió per evitar moviments bruscs o errors.
Problema: En robòtica, sovint és necessari seguir objectes o ajustar la posició d'una càmera robòtica mentre es mou l'objecte d'interès.
Solució amb Quaternions: Els quaternions permeten ajustar fàcilment l'orientació de càmeres o altres sensors en temps real, permetent un seguiment fluid i precís.
Problema: En la robòtica teleoperada (on un humà controla el robot a distància), és essencial que els moviments siguin intuïtius i precisos.
Solució amb Quaternions: Els quaternions són ideals per representar els moviments de la mà o del cap en dispositius de realitat virtual, que després es poden traduir directament a moviments robòtics, millorant la precisió i la naturalesa dels moviments replicats.
Problema: Un robot sovint utilitza múltiples sensors (com acceleròmetres, giroscopis i magnetòmetres) per determinar la seva orientació en l'espai. La informació d'aquests sensors pot estar en desacord o ser difícil de combinar.
Solució amb Quaternions: Els quaternions es poden utilitzar per fusionar aquestes dades de manera coherent, oferint una estimació fiable de l'orientació del robot.
Els quaternions són fonamentals en la robòtica per a la representació precisa de rotacions, la planificació de trajectòries suaus, l'estabilització i el control de moviments complexos en espais tridimensionals. Aquestes aplicacions són crucials per al funcionament eficient i precís de robots en una àmplia gamma de contextos, des de la indústria fins a la investigació i el desenvolupament tecnològic.
| Sistema Numèric | Dimensió | Component | Associativitat | Commutativitat | Inverses | Aplicació |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Números Naturals (\(\mathbb{N}\)) | 1 | Enters no negatius | Sí | Sí | No | Comptatge |
| Números Enters (\(\mathbb{Z}\)) | 1 | Enters positius i negatius | Sí | Sí | No (només la inversa multiplicativa) | Comptatge, àlgebra |
| Números Racionals (\(\mathbb{Q}\)) | 1 | Fraccions de enters | Sí | Sí | Sí | Càlculs exactes en àlgebra, proporcions |
| Números Reals (\(\mathbb{R}\)) | 1 | Reals (nombres continus) | Sí | Sí | Sí | Geometria, anàlisi, física |
| Números Complexos (\(\mathbb{C}\)) | 2 | Reals i imaginaris | Sí | No | Sí | Anàlisi complex, física quàntica |
| Quaternions (\(\mathbb{H}\)) | 4 | 1 real, 3 imaginaris | Sí (per producte) | No | Sí | Rotacions en 3D, computació gràfica |
| Octonions (\(\mathbb{O}\)) | 8 | 1 real, 7 imaginaris | No | No | Sí | Física teòrica, teoria de cordes |
| Septenions (\(\mathbb{S}\)) | 16 | 1 real, 15 imaginaris | No | No | No | Matemàtica avançada, estudis teòrics |
Una rotació en 3D es pot representar per una matriu de rotació \( R \) de \( 3 \times 3 \). Aquesta matriu transforma un vector \( \mathbf{p} \) original en un nou vector \( \mathbf{p'} \) mitjançant la multiplicació matricial:
\[ \mathbf{p'} = R \cdot \mathbf{p} \]
Un quaternió per a rotació es representa com:
\[ q = w + xi + yj + zk \]
On \( w \), \( x \), \( y \) i \( z \) són components reals. Per aplicar una rotació a un vector \( \mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z) \), primer es converteix aquest vector en un quaternió pur \( p = (0, p_x, p_y, p_z) \). Llavors, la rotació s'aplica usant la fórmula:
\[ \mathbf{p'} = q \cdot p \cdot q^{-1} \]
Suposem que volem rotar un vector \( \mathbf{p} = (1, 0, 0) \) al voltant de l'eix Z per un angle \( 90^\circ \).
La matriu de rotació per un angle \( \alpha = 90^\circ \) al voltant de l'eix Z és:
\[ R_z(90^\circ) = \begin{pmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Quan apliquem aquesta matriu al vector \( \mathbf{p} = (1, 0, 0) \):
\[ \mathbf{p'} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
El vector rotat és \( \mathbf{p'} = (0, 1, 0) \).
Per a un angle \( \theta = 90^\circ \) al voltant de l'eix Z, el quaternió unitari és:
\[ q = \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) + (0 \cdot i + 0 \cdot j + 1 \cdot k) \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \]
Com que \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) i \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), tenim:
\[ q = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0i + 0j + \frac{\sqrt{2}}{2}k \]
El vector \( \mathbf{p} = (1, 0, 0) \) es representa com el quaternió pur \( p = (0, 1, 0, 0) \).
Llavors, calculem \( \mathbf{p'} \) com:
\[ q \cdot p = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (0, 1, 0, 0) \]
\[ q \cdot p = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1\right) = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]
\[ \mathbf{p'} = (0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]
El resultat serà el vector rotat \( \mathbf{p'} = (0, 1, 0) \).
Matrius de Rotació: Més intuïtives perquè directament transformen els vectors i són més fàcils de visualitzar i entendre.
Quaternions: Més abstractes i menys intuïtius, però ofereixen avantatges significatius en certes aplicacions.
Matrius de Rotació: Poden patir bloqueig de cardan, especialment quan s'utilitzen angles d'Euler.
Quaternions: No tenen problemes de singularitat, cosa que els fa més fiables en aplicacions robòtiques complexes.
Matrius de Rotació: Són més fàcils de calcular, però poden ser menys eficients per a càlculs repetitius o interpolacions.
Quaternions: Són més eficients per a càlculs seqüencials i interpolacions, fent-los ideals per a animacions i aplicacions de control robòtic.
Tot i que les matrius de rotació són més fàcils d'entendre i d'aplicar en situacions senzilles, els quaternions ofereixen avantatges importants en termes de robustesa, estabilitat i eficiència, especialment en sistemes dinàmics complexos com els que es troben en robòtica i animació 3D.
Una matriu de rotació en tres dimensions és una matriu \( 3 \times 3 \) que s'utilitza per rotar un vector en un espai tridimensional. La matriu generalment es defineix com:
\[ R = \begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{pmatrix} \]
Cada element \( R_{ij} \) de la matriu té un significat específic en termes de projecció dels eixos:
Per exemple, considerem una rotació al voltant de l’eix Z per un angle \( \theta \). La matriu de rotació corresponent és:
\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Per \( \theta = 90^\circ \), la matriu esdevé:
\[ R_z(90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Això significa que un vector \( \mathbf{p} = (1, 0, 0) \) es rotarà en el pla XY cap a \( \mathbf{p'} = (0, 1, 0) \).
Els quaternions són una extensió dels nombres complexos utilitzada per representar rotacions tridimensionals de manera eficient i sense singularitats (com el bloqueig de cardan). Un quaternió té la forma:
\[ q = w + xi + yj + zk \]
On \( w \), \( x \), \( y \) i \( z \) són nombres reals, i \( i \), \( j \), i \( k \) són les unitats imaginàries que compleixen les següents regles:
\[ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \]
Un quaternió es pot utilitzar per representar una rotació d'un angle \( \theta \) al voltant d'un eix unitari \( \mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z) \) amb la següent fórmula:
\[ q = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]
Per exemple, per una rotació de \( 90^\circ \) al voltant de l'eix Z, el quaternió seria:
\[ q = \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) + (0\cdot i + 0\cdot j + 1\cdot k)\sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \]
Com que \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) i \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), això es simplifica a:
\[ q = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0\cdot i + 0\cdot j + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot k \]
Per aplicar aquesta rotació a un vector \( \mathbf{p} = (1, 0, 0) \), primer convertim el vector en un quaternió pur \( p = (0, 1, 0, 0) \). Llavors calculem el producte:
\[ \mathbf{p'} = q \cdot p \cdot q^{-1} \]
On \( q^{-1} \) és el conjugat del quaternió \( q \), donat per:
\[ q^{-1} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0i - 0j - \frac{\sqrt{2}}{2}k \]
Aquesta operació resulta en el vector rotat \( \mathbf{p'} = (0, 1, 0) \), el mateix resultat que amb la matriu de rotació.
Matrius de Rotació: Són més intuïtives perquè transformen directament els vectors i són més fàcils de visualitzar.
Quaternions: Són més abstractes, però ofereixen avantatges significatius en termes de no tenir singularitats i ser més eficients en càlculs seqüencials.
Matrius de Rotació: Poden patir el bloqueig de cardan, especialment quan es treballa amb angles d'Euler.
Quaternions: No tenen problemes de singularitat, cosa que els fa més fiables en aplicacions complexes com la robòtica.
Matrius de Rotació: Són fàcils de calcular però poden ser menys eficients per a interpolacions o càlculs repetitius.
Quaternions: Són més eficients per a càlculs seqüencials, especialment en animacions i aplicacions de control.
Les matrius de rotació i els quaternions tenen els seus propis avantatges i inconvenients. Les matrius són més intuïtives i fàcils d'utilitzar en casos senzills, mentre que els quaternions són més eficients i robustos en situacions més complexes, sense patir els problemes de singularitat associats amb les matrius.