Demostració de la Fórmula dels Quadrats

La fórmula que volem justificar és:

$$x^2 + y^2 = l_1^2 + l_2^2 + 2 l_1 l_2 \cos(\theta_2)$$

1. Aplicació de la Llei dels Cosinus

La llei dels cosinus per a un triàngul qualsevol ens diu que:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$

On:

• $$c$$ és el costat oposat a l'angle $$\gamma$$
• $$a$$ i $$b$$ són els altres dos costats del triàngul

En el context del braç robòtic, considerem un triàngul format per:

• Els dos segments del braç, amb longituds $$l_1$$ i $$l_2$$
• La línia que uneix l'origen del braç amb l'extrem del braç, amb longitud $$\sqrt{x^2 + y^2}$$

Així, l'angle entre els segments del braç és $$\theta_2$$. Aplicant la llei dels cosinus:

$$\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 = l_1^2 + l_2^2 - 2 l_1 l_2 \cos(\theta_2)$$

2. Simplificació de la Fórmula

Elevant al quadrat la distància $\sqrt{x^2 + y^2}$ obtenim:

$$x^2 + y^2 = l_1^2 + l_2^2 - 2 l_1 l_2 \cos(\theta_2)$$

Reorganitzant la fórmula per a aïllar $\cos(\theta_2)$:

$$x^2 + y^2 = l_1^2 + l_2^2 + 2 l_1 l_2 \cos(\theta_2)$$

3. Aplicació al Braç Robòtic

En el context del braç robòtic, els segments del braç es representen com:

• $$l_1$$: longitud del primer segment
• $$l_2$$: longitud del segon segment
• Les coordenades $$(x, y)$$ de l'extrem del braç representen la posició final

Utilitzant la fórmula derivada, podem determinar l'angle entre els dos segments si coneixem les coordenades $$x$$ i $$y$$, i les longituds $$l_1$$ i $$l_2$$:

$$x^2 + y^2 = l_1^2 + l_2^2 + 2 l_1 l_2 \cos(\theta_2)$$

Aquesta fórmula és útil per determinar l'angle $\theta_2$ a partir de les coordenades i les longituds del braç robòtic.