Integrals (Batxillerat) i moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid

1. Què és una integral?

En termes de Batxillerat, la integral definida \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) representa l'àrea signada sota la corba \(y=f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\). Es pot veure com el límit de sumes de Riemann:

\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x\]

Idea intuïtiva: particionem l'interval \([a,b]\) en petits trossos de longitud \(\Delta x\), fem rectangles d'altura \(f(x_i^*)\) i prenem el límit quan \(\Delta x\to 0\).

Propietats útils

Linealitat: \(\int_a^b (af(x)+bg(x))\,dx = a\int_a^b f(x)\,dx + b\int_a^b g(x)\,dx\).
Monotonia: si \(f(x)\le g(x)\) per a tot \(x\in[a,b]\), llavors \(\int_a^b f(x)\le\int_a^b g(x)\).

2. Per què serveixen les integrals en física?

Molts conceptes físics impliquen sumar contributions petites contínues: massa, càrrega, energia, moment d'inèrcia... L'integral ens permet passar d'una suma discreta a una suma contínua.

Exemple: per trobar la massa d'un objecte amb densitat variable fem \(M=\int_V \rho(\mathbf r)\,dV\).

3. Moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid (objectiu)

Donat un cilindre sòlid, eix central longitudinal, radi \(R\), longitud \(L\) i massa total \(M\). Volem calcular el moment d'inèrcia respecte de l'eix central (eix que travessa el centre paral·lel a l'eix del cilindre).

3.1 Model i densitat

Suposem densitat de massa homogènia (constant) \(\rho\). Massa total:

\[M=\rho\cdot V=\rho\cdot (\pi R^2 L)\quad\Rightarrow\quad \rho=\dfrac{M}{\pi R^2 L}.\]

3.2 Expressió del moment d'inèrcia

El moment d'inèrcia respecte de l'eix central és la integral de les contribucions \(r^2\,dm\), on \(r\) és la distància radial des de l'eix:

\[I=\int r^2\,dm.\]

En coordenades cilíndriques \((r,\theta,z)\) un element de volum és \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\). Per tant:

\[dm=\rho\,dV=\rho\,r\,dr\,d\theta\,dz.\]

3.3 Integració sobre el volum

Plugging dins la integral:

\[I=\int_{\text{vol}} r^2\,dm=\int_{z=0}^{L}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r^2\cdot(\rho\,r\,dr\,d\theta\,dz).\]

Podem reordenar factors i límits perquè \(\rho\) és constant:

\[I=\rho\int_{z=0}^{L}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r^3\,dr\,d\theta\,dz. \]

Calculem les integrals en l'ordre interior \(r\), després \(\theta\), després \(z\):

\[\int_{r=0}^{R} r^3\,dr = \left[\dfrac{r^4}{4}\right]_0^R = \dfrac{R^4}{4}. \]

\[\int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,\qquad \int_{z=0}^{L} dz = L. \]

Per tant:

\[I=\rho\cdot L\cdot 2\pi\cdot \dfrac{R^4}{4} = 2\pi L\rho\dfrac{R^4}{4} = \dfrac{\pi L\rho R^4}{2}.\]

3.4 Substituïm \(\rho\)

\[\rho=\dfrac{M}{\pi R^2 L}\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{\pi L\left(\dfrac{M}{\pi R^2 L}\right)R^4}{2}. \]

Cancel·lem factors i fem l'àlgebra pas a pas (atenció als càlculs):

\[I=\dfrac{M}{2}\cdot \dfrac{\pi L R^4}{\pi R^2 L}=\dfrac{M}{2}\cdot \dfrac{R^4}{R^2}=\dfrac{M}{2}R^{4-2}=\dfrac{1}{2}MR^2. \]

Resultat final: \[\boxed{\;I_{\text{cilindre sòlid sobre l'eix central}=\dfrac{1}{2}MR^2\;}\]

3.5 Observacions i casos especials

Si el cilindre és buit (només paret prim, massa concentrada a \(r=R\) amb massa \(M\)), el moment d'inèrcia seria \(I=MR^2\) (com una massa puntual a distància \(R\)).
Si es vol el moment d'inèrcia respecte d'un eix perpendicular que passa pel centre (per exemple l'eix que talla el diàmetre), cal usar el teorema de Steinero i/o integrar en coordenades apropiades.

4. Moment d'inèrcia d'una esfera sòlida (mateixa estructura que l'apartat 3)

Donada una esfera sòlida de radi \(R\) i massa total \(M\). Volem calcular el moment d'inèrcia respecte d'un eix que passa pel centre (qualsevol eix central).

4.1 Model i densitat

Suposem densitat de massa homogènia (constant) \(\rho\). Volum i densitat:

\[V=\dfrac{4}{3}\pi R^3,\qquad M=\rho V \quad\Rightarrow\quad \rho=\dfrac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}=\dfrac{3M}{4\pi R^3}.\]

4.2 Expressió del moment d'inèrcia

En general \(I=\int r_\perp^2\,dm\), on \(r_\perp\) és la distància perpendicular a l'eix. En coordenades esfèriques \((r,\theta,\varphi)\) (aquí \(r\) és la distància al centre, \(\varphi\) l'angle polar des de l'eix i \(\theta\) l'angle azimutal) tenim:

element de volum: \(dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\);
distància perpendicular a l'eix: \(r_\perp = r\sin\varphi\).

Per tant \(dm=\rho\,dV\) i la integranda és \((r\sin\varphi)^2\,dm\).

4.3 Integració sobre el volum

Posem-ho tot a la integral:

\[ I=\int_{\text{vol}} (r\sin\varphi)^2\,\rho\,dV =\rho\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{R} r^2\sin^2\varphi \cdot r^2\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta. \]

Reagrupant factors:

\[ I=\rho\int_{0}^{R} r^4\,dr \;\cdot\; \int_{0}^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi \;\cdot\; \int_{0}^{2\pi} d\theta. \]

Calculem cada integral:

\[\int_{0}^{R} r^4\,dr=\left[\dfrac{r^5}{5}\right]_0^R=\dfrac{R^5}{5},\qquad \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.\]

\[\int_{0}^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi = \dfrac{4}{3}.\]

Per tant:

\[ I=\rho\cdot \dfrac{R^5}{5}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot 2\pi =\rho\cdot \dfrac{8\pi R^5}{15}. \]

4.4 Substituïm \(\rho\)

\[ \rho=\dfrac{3M}{4\pi R^3}\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{3M}{4\pi R^3}\cdot \dfrac{8\pi R^5}{15}. \]

Fem l'àlgebra i simplifiquem factors (atenció als potències i constants):

\[ I=\dfrac{3\cdot 8}{4\cdot 15}\,M\,R^{5-3} =\dfrac{24}{60}\,M R^2 =\dfrac{2}{5} M R^2. \]

Resultat final: \[\boxed{\;I_{\text{esfera sòlida sobre eix central}}=\dfrac{2}{5}MR^2\;}\]

4.5 Observacions i casos especials

Una closca esfèrica fina (massa concentrada a \(r=R\)) té \(I=\dfrac{2}{3}MR^2\).
La deducció farà servir sempre la simetria esfèrica i coordenades esfèriques per simplificar la integració.

5. Resum i consells per a l'examen

Identifica la simetria: si la densitat és constant i l'objecte té simetria cilíndrica, les coordenades cilíndriques simplifiquen molt.
Recorda que \(dm=\rho\,dV\) i en coordenades cilíndriques \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\).
Fes les integracions interiors primer i utilitza la constantitat de \(\rho\) per treure factors fora de les integrals quan sigui possible.