Integrals (Batxillerat) i moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid

1. Què és una integral?

En termes de Batxillerat, la integral definida \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) representa l'àrea signada sota la corba \(y=f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\). Es pot veure com el límit de sumes de Riemann:

\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x\]

Idea intuïtiva: particionem l'interval \([a,b]\) en petits trossos de longitud \(\Delta x\), fem rectangles d'altura \(f(x_i^*)\) i prenem el límit quan \(\Delta x\to 0\).

Propietats útils

Linealitat: \(\int_a^b (af(x)+bg(x))\,dx = a\int_a^b f(x)\,dx + b\int_a^b g(x)\,dx\).
Monotonia: si \(f(x)\le g(x)\) per a tot \(x\in[a,b]\), llavors \(\int_a^b f(x)\le\int_a^b g(x)\).

2. Per què serveixen les integrals en física?

Molts conceptes físics impliquen sumar contributions petites contínues: massa, càrrega, energia, moment d'inèrcia... L'integral ens permet passar d'una suma discreta a una suma contínua.

Exemple: per trobar la massa d'un objecte amb densitat variable fem \(M=\int_V \rho(\mathbf r)\,dV\).

3. Moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid (objectiu)

Donat un cilindre sòlid, eix central longitudinal, radi \(R\), longitud \(L\) i massa total \(M\). Volem calcular el moment d'inèrcia respecte de l'eix central (eix que travessa el centre paral·lel a l'eix del cilindre).

3.1 Model i densitat

Suposem densitat de massa homogènia (constant) \(\rho\). Massa total:

\[M=\rho\cdot V=\rho\cdot (\pi R^2 L)\quad\Rightarrow\quad \rho=\dfrac{M}{\pi R^2 L}.\]

3.2 Expressió del moment d'inèrcia

El moment d'inèrcia respecte de l'eix central és la integral de les contribucions \(r^2\,dm\), on \(r\) és la distància radial des de l'eix:

\[I=\int r^2\,dm.\]

En coordenades cilíndriques \((r,\theta,z)\) un element de volum és \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\). Per tant:

\[dm=\rho\,dV=\rho\,r\,dr\,d\theta\,dz.\]

3.3 Integració sobre el volum

Plugging dins la integral:

\[I=\int_{\text{vol}} r^2\,dm=\int_{z=0}^{L}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r^2\cdot(\rho\,r\,dr\,d\theta\,dz).\]

Podem reordenar factors i límits perquè \(\rho\) és constant:

\[I=\rho\int_{z=0}^{L}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r^3\,dr\,d\theta\,dz. \]

Calculem les integrals en l'ordre interior \(r\), després \(\theta\), després \(z\):

\[\int_{r=0}^{R} r^3\,dr = \left[\dfrac{r^4}{4}\right]_0^R = \dfrac{R^4}{4}. \]

\[\int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,\qquad \int_{z=0}^{L} dz = L. \]

Per tant:

\[I=\rho\cdot L\cdot 2\pi\cdot \dfrac{R^4}{4} = 2\pi L\rho\dfrac{R^4}{4} = \dfrac{\pi L\rho R^4}{2}.\]

3.4 Substituïm \(\rho\)

\[\rho=\dfrac{M}{\pi R^2 L}\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{\pi L\left(\dfrac{M}{\pi R^2 L}\right)R^4}{2}. \]

Cancel·lem factors i fem l'àlgebra pas a pas (atenció als càlculs):

\[I=\dfrac{M}{2}\cdot \dfrac{\pi L R^4}{\pi R^2 L}=\dfrac{M}{2}\cdot \dfrac{R^4}{R^2}=\dfrac{M}{2}R^{4-2}=\dfrac{1}{2}MR^2. \]

Resultat final: \[\boxed{\;I_{\text{cilindre sòlid sobre l'eix central}=\dfrac{1}{2}MR^2\;}\]

3.5 Observacions i casos especials

Si el cilindre és buit (només paret prim, massa concentrada a \(r=R\) amb massa \(M\)), el moment d'inèrcia seria \(I=MR^2\) (com una massa puntual a distància \(R\)).
Si es vol el moment d'inèrcia respecte d'un eix perpendicular que passa pel centre (per exemple l'eix que talla el diàmetre), cal usar el teorema de Steinero i/o integrar en coordenades apropiades.

4. Exercici resolt ràpid

Suposem \(M=4\ \mathrm{kg}, R=0.2\ \mathrm{m}\). Trobar \(I\).

\[I=\dfrac{1}{2}MR^2=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot(0.2)^2=2\cdot 0.04=0.08\ \mathrm{kg\cdot m^2}.\]

Explica amb paraules: si doblam la massa o el radi al quadrat, l'efecte sobre \(I\) és proporcional a aquestes variacions segons la fórmula.

5. Resum i consells per a l'examen

Identifica la simetria: si la densitat és constant i l'objecte té simetria cilíndrica, les coordenades cilíndriques simplifiquen molt.
Recorda que \(dm=\rho\,dV\) i en coordenades cilíndriques \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\).
Fes les integracions interiors primer i utilitza la constantitat de \(\rho\) per treure factors fora de les integrals quan sigui possible.

6. Demostració pas a pas: moment d'inèrcia d'una esfera sòlida

Volem calcular el moment d'inèrcia d'una esfera sòlida homogènia de radi \\(R\\) i massa \\(M\\) respecte d'un eix que passa pel centre (per exemple, l'eix \\(z\\)).

6.1 Pas 1 — Densitat

El volum de l'esfera és \\(V=\\tfrac{4}{3}\\pi R^3\\). Com la densitat \\(\\rho\\) és constant:

\\[\\rho=\\dfrac{M}{V}=\\dfrac{3M}{4\\pi R^3}.\\]

6.2 Pas 2 — Expressar \\(dm\\) en coordenades esfèriques

En coordenades esfèriques \\((r,\\theta,\\varphi)\\) l'element de volum és:

\\[dV=r^2\\sin\\theta\\,dr\\,d\\theta\\,d\\varphi.\\]

Per tant, l'element de massa és:

\\[dm=\\rho\\,dV=\\rho\\,r^2\\sin\\theta\\,dr\\,d\\theta\\,d\\varphi.\\]

6.3 Pas 3 — Què integrem?

Per definició, el moment d'inèrcia respecte de l'eix \\(z\\) és \\(I=\\int r_\\perp^2\\,dm\\), on \\(r_\\perp\\) és la distància perpendicular a l'eix. En coordenades esfèriques, la distància perpendicular a l'eix \\(z\\) és:

\\[r_\\perp=r\\sin\\theta.\\]

Així:

\\[I=\\int_{\\text{esfera}} (r\\sin\\theta)^2\\,dm=\\rho\\int_{\\varphi=0}^{2\\pi}\\int_{\\theta=0}^{\\pi}\\int_{r=0}^{R} r^2\\sin^2\\theta\\cdot r^2\\sin\\theta\\,dr\\,d\\theta\\,d\\varphi.\\]

Reescrivim agrupant factors:

\\[I=\\rho\\int_{0}^{2\\pi}d\\varphi\\int_{0}^{\\pi}\\sin^3\\theta\\,d\\theta\\int_{0}^{R} r^4\\,dr.\\]

6.4 Pas 4 — Calcular cadascuna de les integrals

Integral radial:

\\[\\int_{0}^{R} r^4\\,dr=\\left[\\dfrac{r^5}{5}\\right]_0^{R}=\\dfrac{R^5}{5}.\\]

Integral en \\(\\varphi\\):

\\[\\int_{0}^{2\\pi} d\\varphi = 2\\pi.\\]

Integral angular en \\(\\theta\\) (calcular \\(\\int_0^{\\pi}\\sin^3\\theta\\,d\\theta\\)):

\\[\\int_0^{\\pi}\\sin^3\\theta\\,d\\theta=\\int_0^{\\pi}\\sin\\theta(1-\\cos^2\\theta)\\,d\\theta.\\]

Fem el canvi \\(u=\\cos\\theta\\), \\(du=-\\sin\\theta\\,d\\theta\\). Quan \\(\\theta=0\\), \\(u=1\\); quan \\(\\theta=\\pi\\), \\(u=-1\\). Així:

\\[\\int_0^{\\pi}\\sin^3\\theta\\,d\\theta=\\int_{u=1}^{-1}(1-u^2)(-du)=\\int_{-1}^{1}(1-u^2)\\,du.\\]

\\[\\int_{-1}^{1}(1-u^2)\\,du=\\left[u-\\dfrac{u^3}{3}\\right]_{-1}^{1}=(1-\\tfrac{1}{3})-(-1+\\tfrac{1}{3})=\\tfrac{4}{3}.\\]

6.5 Pas 5 — Multiplicar resultats i substituir \\(\\rho\\)

\\[I=\\rho\\cdot(2\\pi)\\cdot\\left(\\dfrac{4}{3}\\right)\\cdot\\left(\\dfrac{R^5}{5}\\right)=\\rho\\,\\dfrac{8\\pi R^5}{15}.\\]

Recorda que \\(\\rho=\\dfrac{3M}{4\\pi R^3}\\). Substituïm:

\\[I=\\dfrac{3M}{4\\pi R^3}\\cdot \\dfrac{8\\pi R^5}{15}=M\\cdot \\dfrac{3}{4}\\cdot\\dfrac{8}{15}R^{2}.\\]

Fem les simplificacions numèriques:

\\[\\dfrac{3}{4}\\cdot\\dfrac{8}{15}=\\dfrac{24}{60}=\\dfrac{2}{5}.\\]

Resultat final (esfera sòlida):

\\[\\boxed{\\;I=\\dfrac{2}{5}MR^2\\;}\\]

6.6 Exemple numèric ràpid

Si \\(M=3\\ \\mathrm{kg}\\) i \\(R=0.1\\ \\mathrm{m}\\), llavors

\\[I=\\dfrac{2}{5}\\cdot 3\\cdot(0.1)^2=\\dfrac{6}{5}\\cdot 0.01=0.012\\ \\mathrm{kg\\cdot m^2}.\\]

6.7 Observacions finals

La simetria esfèrica facilita separar la integral en productes de factors radials i angulars.
Quan hi ha simetria, busca coordenades (cilíndriques, esfèriques) que facin el jacobià senzill i permetin separar integrals.

6. Moment d'inèrcia d'una esfera sòlida

Aquesta secció s'ha afegit just després del càlcul del cilindre, ja que és la continuació natural dins dels exemples de moments d'inèrcia clàssics.

Per a una esfera sòlida homogènia de radi R i massa M, el resultat conegut del moment d'inèrcia respecte d'un eix que passa pel centre és:

I = (2/5) · M · R²

Si vols, puc substituir aquest resum per una demostració completa amb integrals esfèriques.