El mètode estàtic només té en compte les forces gravitacionals. Els torques necessaris es calculen per mantenir el braç en una posició fixa.
Centre de masses del primer enllaç:
\[ x_1 = \frac{L_1}{2} \cos(\theta_1) = \frac{3}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299 \, \text{m} \] \[ y_1 = \frac{L_1}{2} \sin(\theta_1) = \frac{3}{2} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} = 0.75 \, \text{m} \]Centre de masses del segon enllaç:
\[ x_2 = L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2) = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \] \[ x_2 \approx 2.598 + 0.5176 \approx 3.1156 \, \text{m} \] \[ y_2 = L_1 \sin(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \sin(\theta_1 + \theta_2) = 3 \times \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \] \[ y_2 \approx 1.5 + 0.9659 \approx 2.4659 \, \text{m} \]Les forces gravitacionals sobre els enllaços es calculen com:
\[ F_{g1} = m_1 \cdot g = 1 \times 9.81 = 9.81 \, \text{N} \] \[ F_{g2} = m_2 \cdot g = 1 \times 9.81 = 9.81 \, \text{N} \]Torque a la primera articulació:
\[ \tau_1 = m_1 \cdot g \cdot \left(\frac{L_1}{2} \cos(\theta_1)\right) + m_2 \cdot g \cdot \left[L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right] \] \[ \tau_1 = 1 \times 9.81 \times 1.299 + 1 \times 9.81 \times \left(2.598 + 0.5176\right) \approx 12.7419 + 30.6337 \approx 43.3756 \, \text{Nm} \]Torque a la segona articulació:
\[ \tau_2 = m_2 \cdot g \cdot \left(\frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right) \] \[ \tau_2 = 1 \times 9.81 \times 0.5176 \approx 5.0717 \, \text{Nm} \]Ara considerem el mètode de Newton-Euler, que inclou les acceleracions i forces d'inèrcia, a més de les forces gravitacionals. Per aquest exemple, suposarem que les acceleracions angulars són zero, de manera que només hi ha components gravitatòries, similar al cas estàtic.
En l'algorisme de Newton-Euler, les equacions de moviment es poden dividir en dues parts:
Les forces d'inèrcia són zero en aquest cas perquè les acceleracions angulars són zero:
\[ F_{i1} = m_1 \cdot \ddot{x}_1 = 0, \quad F_{i2} = m_2 \cdot \ddot{x}_2 = 0 \]Torque a la primera articulació:
\[ \tau_1 = I_{1z} \ddot{\theta}_1 + m_1 \cdot g \cdot \left(\frac{L_1}{2} \cos(\theta_1)\right) + m_2 \cdot g \cdot \left[L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right] \]Aquesta fórmula considera tres components:
Per tant, el resultat per \( \tau_1 \) és el mateix que en el mètode estàtic:
\[ \tau_1 \approx 43.3756 \, \text{Nm} \]Torque a la segona articulació:
\[ \tau_2 = I_{2z} \ddot{\theta}_2 + m_2 \cdot g \cdot \left(\frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right) \]Similarment, com que \( \ddot{\theta}_2 = 0 \), només queda el terme gravitacional, i per tant:
\[ \tau_2 \approx 5.0717 \, \text{Nm} \]Com podem veure, en absència d'acceleracions angulars, els resultats obtinguts amb el mètode estàtic i l'algorisme de Newton-Euler són els mateixos.
Això és perquè ambdues metodologies consideren les mateixes forces gravitacionals. No obstant això, l'algorisme de Newton-Euler permetria calcular també els torques necessaris si el braç robòtic estigués accelerant, cosa que el mètode estàtic no podria fer.
En resum, els dos mètodes donen resultats similars sota condicions estàtiques, però l'algorisme de Newton-Euler és més general i útil per a l'anàlisi de sistemes dinàmics amb acceleracions no nul·les.
En aquest exemple, considerem les acceleracions angulars a més de les forces gravitacionals.
Centre de masses del primer enllaç:
\[ x_1 = \frac{L_1}{2} \cos(\theta_1) = \frac{3}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299 \, \text{m} \] \[ y_1 = \frac{L_1}{2} \sin(\theta_1) = \frac{3}{2} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} = 0.75 \, \text{m} \]Centre de masses del segon enllaç:
\[ x_2 = L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2) = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \] \[ x_2 \approx 2.598 + 0.5176 \approx 3.1156 \, \text{m} \] \[ y_2 = L_1 \sin(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \sin(\theta_1 + \theta_2) = 3 \times \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \] \[ y_2 \approx 1.5 + 0.9659 \approx 2.4659 \, \text{m} \]Les forces gravitacionals sobre els enllaços es calculen com:
\[ F_{g1} = m_1 \cdot g = 1 \times 9.81 = 9.81 \, \text{N} \] \[ F_{g2} = m_2 \cdot g = 1 \times 9.81 = 9.81 \, \text{N} \]En aquest cas, considerem tant els efectes de la gravetat com les acceleracions angulars i els moments d'inèrcia.
Com podem veure, els torques calculats amb l'algorisme de Newton-Euler amb acceleració angular són lleugerament diferents dels calculats amb el mètode estàtic. Les diferències es deuen a la contribució addicional dels termes d'inèrcia i acceleració.
Això mostra que l'algorisme de Newton-Euler proporciona una solució més completa en situacions dinàmiques, mentre que el mètode estàtic només considera les forces gravitacionals i no l'acceleració angular.
En matemàtica i física, les derivades es poden expressar de diverses maneres. Aquestes notacions són útils per representar la velocitat, l'acceleració i altres taxonomies derivades de variables en funció del temps.
Definició: El punt simple a sobre d'una variable, com en \(\dot{x}\), representa la primera derivada de la variable respecte al temps.
Exemple: Si \(x(t)\) és la posició d'un objecte, \(\dot{x}(t)\) representa la seva velocitat.
Origen: Aquesta notació es va popularitzar amb la notació de Newton per les seves equacions de moviment. El punt indica la derivada primera en temps.
Definició: Els dos punts a sobre d'una variable, com en \(\ddot{x}\), representen la segona derivada respecte al temps, és a dir, l'acceleració.
Exemple: Si \(x(t)\) és la posició, \(\ddot{x}(t)\) és l'acceleració.
Origen: Aquesta notació també prové de les obres de Newton, on els dos punts representen la segona derivada en temps.
Definició: Aquesta notació utilitza fraccions per representar les derivades. \(\frac{dx}{dt}\) és la primera derivada (velocitat), i \(\frac{d^2x}{dt^2}\) és la segona derivada (acceleració).
Exemple: La velocitat és \(\frac{dx}{dt}\) i l'acceleració és \(\frac{d^2x}{dt^2}\).
Origen: La notació de Leibniz, desenvolupada per Gottfried Wilhelm Leibniz, és àmpliament utilitzada en càlcul diferencial i integral per la seva claredat i versatilitat.
Definició: En aquesta notació, les derivades primeres i segones es representen amb primes. \(x'\) és la primera derivada (velocitat) i \(x''\) és la segona derivada (acceleració).
Exemple: La velocitat es denota com \(x'\) i l'acceleració com \(x''\).
Origen: Aquesta notació es fa servir sovint en càlculs per la seva simplicitat i és comuna en matemàtiques aplicades i física.
En física, el moment de força (o torque) es refereix a la mesura de la força que pot causar un objecte a girar al voltant d'un eix. La fórmula per calcular el moment de força és:
\[ \tau = r \times F \] On:En aquest cas, el moment es calcula multiplicant el vector posicional pel vector força, considerant l'angle entre ells.
Les diferents notacions per a les derivades proporcionen maneres alternatives de representar els canvis en variables respecte al temps. La notació amb punts és útil en física i enginyeria, mentre que la notació de Leibniz és valuosa per a càlculs matemàtics. La notació primitiva és una forma compacta i pràctica, i totes aquestes notacions tenen les seves aplicacions específiques en diferents contextos.