Càlcul dels Torques en un Braç Robòtic de 2 DOF

Objectiu: Calcular els torques necessaris per mantenir el braç en una configuració donada tenint en compte l'efecte de la gravetat.

Dades:

Longituds dels enllaços: \( L_1 = 3 \, \text{metres} \), \( L_2 = 2 \, \text{metres} \).
Masses dels enllaços: \( m_1 = 1 \, \text{kg} \), \( m_2 = 1 \, \text{kg} \).
Angles de les articulacions: \( \theta_1 = 30^\circ \) (convertit a radians: \( \theta_1 = \frac{\pi}{6} \)), \( \theta_2 = 45^\circ \) (convertit a radians: \( \theta_2 = \frac{\pi}{4} \)).
Acceleració deguda a la gravetat: \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \).

Passos per Calcular els Torques:

1. Calcular les Posicions del Centre de Masses:

Centre de masses del primer segment (enllaç 1):

La posició del centre de masses del primer enllaç en coordenades es calcula com:

\[ x_1 = \frac{L_1}{2} \cos(\theta_1) = \frac{3}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299 \, \text{metres} \] \[ y_1 = \frac{L_1}{2} \sin(\theta_1) = \frac{3}{2} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} = 0.75 \, \text{metres} \]

Centre de masses del segon segment (enllaç 2):

La posició del centre de masses del segon enllaç (tenint en compte la posició del primer segment) és:

\[ x_2 = L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2) = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} \times \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \] \[ y_2 = L_1 \sin(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \sin(\theta_1 + \theta_2) = 3 \times \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \times \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \]

2. Calcular les Forces Gravitacionals sobre els Enllaços:

Les forces gravitational en les posicions dels centres de masses es donen per:

\[ F_{g1} = m_1 \cdot g = 1 \times 9.81 = 9.81 \, \text{N} \] \[ F_{g2} = m_2 \cdot g = 1 \times 9.81 = 9.81 \, \text{N} \]

3. Calcular els Torques:

Els torques generats per la força gravitacional sobre cada enllaç es poden calcular com el moment de força respecte a l’articulació.

Torque a la primera articulació:

\[ \tau_1 = m_1 \cdot g \cdot \left(\frac{L_1}{2} \cos(\theta_1)\right) + m_2 \cdot g \cdot \left[L_1 \cos(\theta_1) + \frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right] \] \[ \tau_1 = 1 \times 9.81 \times \frac{3\sqrt{3}}{4} + 1 \times 9.81 \times \left[3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \times \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right)\right] \]

Torque a la segona articulació:

\[ \tau_2 = m_2 \cdot g \cdot \left(\frac{L_2}{2} \cos(\theta_1 + \theta_2)\right) = 1 \times 9.81 \times 1 \times \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) \]

El resultat final depèn dels càlculs numèrics específics que es poden realitzar substituint els valors trigonomètrics i simplificant les expressions.