Sumatori de moments respecte a l'origen:
\[ \tau_1 = 0 = F_{y1} \cdot L_1 + F_{y2} \cdot L_2 \cdot \cos(\theta_2) \]
Sumatori de forces horitzontals:
\[ F_{x1} + F_{x2} = 0 \]
Sumatori de forces verticals:
\[ F_{y1} + F_{y2} - m_1 \cdot g - m_2 \cdot g - m_{\text{efector}} \cdot g = 0 \]
Sabem que el sistema està en equilibri, així que calculem pas a pas:
Sumatori de forces verticals:
\[ F_{y1} + F_{y2} - (1 \cdot 9.81) - (1 \cdot 9.81) - (1 \cdot 9.81) = 0 \] \[ F_{y1} + F_{y2} = 29.43 \, \text{N} \]
Sumatori de moments respecte a l'origen:
\[ \tau_1 = F_{y1} \cdot 3 + F_{y2} \cdot 2 \cdot \cos(45^\circ) = 0 \] \[ F_{y1} \cdot 3 + F_{y2} \cdot 2 \cdot 0.7071 = 0 \] \[ F_{y1} \cdot 3 + F_{y2} \cdot 1.4142 = 0 \]
Substituïm \(F_{y2} = 29.43 - F_{y1}\):
\[ F_{y1} \cdot 3 + (29.43 - F_{y1}) \cdot 1.4142 = 0 \] \[ 3 F_{y1} + 41.6166 - 1.4142 F_{y1} = 0 \] \[ 1.5858 F_{y1} = -41.6166 \] \[ F_{y1} \approx 26.25 \, \text{N} \]
Força vertical en articulació 2:
\[ F_{y2} = 29.43 - 26.25 = 3.18 \, \text{N} \]
Sumatori de forces horitzontals:
\[ F_{x1} + F_{x2} = 0 \]
Força total en articulació 1:
\[ F_{1,\text{total}} = \sqrt{F_{x1}^2 + F_{y1}^2} \] \[ F_{1,\text{total}} = \sqrt{0 + 26.25^2} = 26.25 \, \text{N} \]
Força total en articulació 2:
\[ F_{2,\text{total}} = \sqrt{F_{x2}^2 + F_{y2}^2} \] \[ F_{2,\text{total}} = \sqrt{0 + 3.18^2} \approx 3.18 \, \text{N} \]
Angle de la força en articulació 1 respecte a l'horitzontal:
\[ \alpha_1 = \tan^{-1}\left(\frac{F_{y1}}{F_{x1}}\right) \] \[ \alpha_1 = \tan^{-1}\left(\frac{26.25}{0}\right) = 90^\circ \]
Angle de la força en articulació 2 respecte a l'horitzontal:
\[ \alpha_2 = \tan^{-1}\left(\frac{F_{y2}}{F_{x2}}\right) \] \[ \alpha_2 = \tan^{-1}\left(\frac{3.18}{0}\right) = 90^\circ \]
Hem calculat les forces horitzontals, verticals i totals a les dues articulacions, així com els angles respecte a l'horitzontal. S'ha confirmat que el sistema es troba en equilibri estàtic, ja que el sumatori de moments, forces horitzontals i foyrces verticals són tots zero.
Sumatori de moments respecte a l'origen:
\[ \tau_1 = F_{y1} \cdot L_1 + F_{y2} \cdot L_2 \cdot \cos(\theta_2) - F_{f1} \cdot L_1 - F_{f2} \cdot L_2 \cdot \cos(\theta_2) - F_{\text{ext}} \cdot L_2 \cdot \cos(\theta_2) = 0 \]
Sumatori de forces horitzontals:
\[ \sum F_x = F_{x1} + F_{x2} - F_{\text{ext}} = 0 \] \end{p>
Sumatori de forces verticals:
\[ \sum F_y = F_{y1} + F_{y2} - m_1 \cdot g - m_2 \cdot g - m_{\text{efector}} \cdot g - F_{\text{ext}} = 0 \]
3.1. Càlcul de les Forces de Fricció:
\[ F_{f1} = \mu_1 \cdot m_1 \cdot g = 0.1 \cdot 1 \cdot 9.81 = 0.981 \, \text{N} \] \[ F_{f2} = \mu_2 \cdot m_2 \cdot g = 0.1 \cdot 1 \cdot 9.81 = 0.981 \, \text{N} \]
3.2. Equilibri de Moments respecte a l'origen:
\[ F_{y1} \cdot 3 + F_{y2} \cdot 2 \cdot \cos(45^\circ) - 0.981 \cdot 3 - 0.981 \cdot 2 \cdot \cos(45^\circ) - 5 \cdot 2 \cdot \cos(45^\circ) = 0 \] \[ F_{y1} \cdot 3 + F_{y2} \cdot 1.4142 - 2.943 - 1.3878 - 7.071 = 0 \] \[ F_{y1} \cdot 3 + F_{y2} \cdot 1.4142 = 11.401 \]
3.3. Sumatori de Forces Verticals:
\[ F_{y1} + F_{y2} - 9.81 - 9.81 - 9.81 - 5 = 0 \] \[ F_{y1} + F_{y2} = 34.43 \] \end{p>
3.4. Sumatori de Forces Horitzontals:
\[ F_{x1} + F_{x2} - 5 = 0 \] \end{p>
Substituïm \(F_{x2} = -F_{x1} + 5\):
\[ F_{x1} + (-F_{x1} + 5) = 5 \] \end{p>
4.1. Determinació de les Forces:
Resolent les equacions prèvies:
\[ F_{y1} = 22.14 \, \text{N}, \quad F_{y2} = 12.29 \, \text{N} \] \end{p>
4.2. Forces Totals:
\[ F_{1,\text{total}} = \sqrt{F_{x1}^2 + F_{y1}^2} \] \[ F_{1,\text{total}} = \sqrt{0^2 + 22.14^2} = 22.14 \, \text{N} \]
\[ F_{2,\text{total}} = \sqrt{F_{x2}^2 + F_{y2}^2} \] \[ F_{2,\text{total}} = \sqrt{5^2 + 12.29^2} \approx 13.67 \, \text{N} \]
Angle de la força en articulació 1 respecte a l'horitzontal:
\[ \alpha_1 = \tan^{-1}\left(\frac{F_{y1}}{F_{x1}}\right) \] \[ \alpha_1 = \tan^{-1}\left(\frac{22.14}{0}\right) = 90^\circ \]
Angle de la força en articulació 2 respecte a l'horitzontal:
\[ \alpha_2 = \tan^{-1}\left(\frac{F_{y2}}{F_{x2}}\right) \] \[ \alpha_2 = \tan^{-1}\left(\frac{12.29}{5}\right) \approx 67.38^\circ \]
Els càlculs mostren que per mantenir l'equilibri estàtic del braç robòtic tenint en compte les forces de fricció i una força dinàmica externa, les forces horitzontals, verticals i totals s'ajusten per assegurar que el sistema no es mou. Els angles de les forces en cada articulació també han estat determinats.
En el context d'un braç robòtic, les forces dinàmiques externes són aquelles que s'apliquen des de l'exterior del sistema (és a dir, no generades per les pròpies articulacions del braç), i poden canviar amb el temps. Aquests són alguns exemples típics:
Si el braç robòtic està sostenint o manipulant un objecte, aquest objecte genera una força externa dinàmica deguda a la gravetat. La força gravitatòria actua sempre en direcció vertical i es pot expressar com:
\[ F_{\text{grav}} = m_{\text{objecte}} \cdot g \]Exemple: Si el braç sosté un paquet de 5 kg, la força gravitatòria és:
\[ F_{\text{grav}} = 5 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 49.05 \, \text{N} \]Aquesta força actua verticalment cap avall en l'efector final del braç robòtic.
Si el braç robòtic es mou a alta velocitat o es troba en un entorn amb corrents d'aire, les forces de resistència de l'aire poden exercir una força externa sobre el braç. Aquesta força depèn de la velocitat, àrea frontal i el coeficient de resistència del braç o l'objecte que transporta:
\[ F_{\text{aire}} = \frac{1}{2} \cdot C_d \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 \]on:
Exemple: Si el braç es mou a 2 m/s i el coeficient de resistència \(C_d\) és 1.0, l'àrea frontal és 0.1 m², i la densitat de l'aire és 1.225 kg/m³, la força de resistència és:
\[ F_{\text{aire}} = \frac{1}{2} \cdot 1.0 \cdot 1.225 \cdot 0.1 \cdot (2)^2 = 0.245 \, \text{N} \]En entorns industrials o de laboratori, un braç robòtic pot estar exposat a camps magnètics que generen forces sobre el braç si té components metàl·lics o si l'objecte que manipula és susceptible als camps magnètics. Aquestes forces poden ser molt variables depenent de la intensitat del camp.
Quan un braç robòtic manipula objectes, poden sorgir forces externes quan el braç entra en contacte amb altres objectes o superfícies. Aquestes forces de reacció segueixen la llei de Newton de "acció-reacció".
Exemple: Si el braç empèny un objecte amb 10 N en direcció horitzontal, l'objecte reacciona amb una força de 10 N en direcció contrària.
Si el braç col·lideix amb un objecte mentre es mou, aquesta col·lisió genera una força dinàmica externa que depèn de la massa i la velocitat del braç en el moment de l'impacte. Aquesta força pot ser molt gran en una fracció de temps.
\[ F_{\text{impacte}} = \frac{m \cdot \Delta v}{\Delta t} \]on:
Si el braç robòtic està utilitzant cables o cordes per manipular objectes o si està estirant un cable, aquest cable pot exercir una força externa de tensió sobre el braç.
Exemple: Si el braç estira un cable amb una força de tensió de 100 N, aquesta força es transmet a través del cable i s'aplica a l'articulació o part del braç.
Si el braç robòtic està operant en un medi fluid com l'aigua o algun líquid viscós, les forces de resistència viscosa o de flotació poden actuar sobre el braç. Aquestes forces externes són causades per la interacció amb el fluid.
\[ F_{\text{líquid}} = \frac{1}{2} \cdot C_d \cdot \rho_{\text{líquid}} \cdot A \cdot v^2 \]