Matriu de Transformació en 2D: Explicació Pas a Pas

Quan treballem en un pla bidimensional (2D), podem representar la posició i l'orientació d'un objecte mitjançant una matriu de transformació de 3x3. Aquesta matriu inclou tant la rotació com la translació. A continuació, es detalla com es construeixen aquestes matrius i què representa cada element.

1. Matriu de Rotació \( \mathbf{R}_1 \)

La matriu de rotació \( \mathbf{R}_1 \) per un angle \( q_1 \) en el pla \( XY \) és:

\[ \mathbf{R}_1 = \begin{pmatrix} \cos(q_1) & -\sin(q_1) & 0 \\ \sin(q_1) & \cos(q_1) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Explicació dels elements de \( \mathbf{R}_1 \):

• \( \cos(q_1) \) (posicions 1,1 i 2,2): Representa la component del vector unitari en la direcció de l'eix X després de la rotació d'un angle \( q_1 \).
• \( -\sin(q_1) \) (posició 1,2): Desplaça la component Y de l'objecte després de la rotació en la direcció negativa de l'eix Y.
• \( \sin(q_1) \) (posició 2,1): Desplaça la component X de l'objecte després de la rotació en la direcció positiva de l'eix Y.
• \( 0 \) (posicions 1,3 i 2,3): No hi ha cap translació directa en els eixos X i Y provocada per la rotació en aquest context.
• \( 1 \) (posició 3,3): Manté la matriu en forma homogènia per assegurar la consistència en les operacions matricials.

2. Matriu de Translació \( \mathbf{D}_1 \)

La matriu de translació \( \mathbf{D}_1 \) per una distància \( a_1 \) al llarg de l'eix \( X \) és:

\[ \mathbf{D}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Explicació dels elements de \( \mathbf{D}_1 \):

• \( 1 \) (posicions 1,1 i 2,2): Indica que no hi ha rotació i manté les unitats en els eixos X i Y.
• \( a_1 \) (posició 1,3): Representa una translació al llarg de l'eix X per una distància \( a_1 \).
• \( 0 \) (posició 2,3): Indica que no hi ha translació al llarg de l'eix Y.
• \( 1 \) (posició 3,3): Manté la matriu homogènia i permet la combinació amb altres transformacions.

3. Matriu de Transformació Homogènia \( \mathbf{T}_1 \)

La matriu de transformació homogènia \( \mathbf{T}_1 \) es pot obtenir multiplicant la matriu de rotació \( \mathbf{R}_1 \) per la matriu de translació \( \mathbf{D}_1 \):

\[ \mathbf{T}_1 = \mathbf{R}_1 \times \mathbf{D}_1 = \begin{pmatrix} \cos(q_1) & -\sin(q_1) & a_1 \cdot \cos(q_1) \\ \sin(q_1) & \cos(q_1) & a_1 \cdot \sin(q_1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Explicació dels elements de \( \mathbf{T}_1 \):

• \( \cos(q_1) \) (posicions 1,1 i 2,2): Indica la component de la rotació en els eixos X i Y respectivament.
• \( -\sin(q_1) \) (posició 1,2): Reflecteix com la rotació afecta la component Y en l'eix X.
• \( \sin(q_1) \) (posició 2,1): Reflecteix com la rotació afecta la component X en l'eix Y.
• \( a_1 \cdot \cos(q_1) \) (posició 1,3): Representa la translació total en la direcció X, tenint en compte la rotació.
• \( a_1 \cdot \sin(q_1) \) (posició 2,3): Representa la translació total en la direcció Y, tenint en compte la rotació.
• \( 1 \) (posició 3,3): Manté la matriu en forma homogènia, permetent la concatenació amb altres transformacions.

Conclusió

La matriu de transformació homogènia \( \mathbf{T}_1 \) en 2D es construeix a partir de la combinació de la matriu de rotació \( \mathbf{R}_1 \) i la matriu de translació \( \mathbf{D}_1 \). Aquesta matriu de 3x3 permet representar tant la rotació com la translació en un sol pas, facilitant els càlculs necessaris per determinar la posició i orientació d'un objecte en un pla bidimensional.

Rotació en el Pla XY

Quan volem rotar un punt \( (x, y) \) en el pla \( XY \) al voltant de l'origen, podem expressar aquesta rotació mitjançant una matriu. Aquestes operacions de rotació es poden representar amb matrius diferents depenent de si la rotació és en sentit contrari o en el mateix sentit de les agulles del rellotge.

Rotació en sentit contrari a les agulles del rellotge (rotació positiva)

Per a una rotació en sentit contrari a les agulles del rellotge per un angle \( \theta \) (direcció positiva) al voltant de l'origen, les noves coordenades \( (x', y') \) es poden expressar de la següent manera:

\[ x' = x \cos \theta - y \sin \theta \] \[ y' = x \sin \theta + y \cos \theta \]

Aquestes equacions es poden escriure en forma de matriu:

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Explicació dels elements de la matriu:

• \( \cos \theta \) (posicions 1,1 i 2,2): Representa la component de la rotació en els eixos X i Y respectivament.
• \( -\sin \theta \) (posició 1,2): Reflecteix com la rotació afecta la component Y en l'eix X.
• \( \sin \theta \) (posició 2,1): Reflecteix com la rotació afecta la component X en l'eix Y.

Rotació en sentit de les agulles del rellotge (rotació negativa)

De manera similar, per a una rotació en sentit de les agulles del rellotge per un angle \( \theta \) (direcció negativa) al voltant de l'origen, les noves coordenades \( (x', y') \) es poden expressar de la següent manera:

\[ x' = x \cos \theta + y \sin \theta \] \[ y' = -x \sin \theta + y \cos \theta \]

Aquestes equacions es poden escriure en forma de matriu:

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Explicació dels elements de la matriu:

• \( \cos \theta \) (posicions 1,1 i 2,2): Indica la component de la rotació en els eixos X i Y respectivament.
• \( \sin \theta \) (posició 1,2): Reflecteix com la rotació afecta la component Y en l'eix X, en la direcció positiva.
• \( -\sin \theta \) (posició 2,1): Reflecteix com la rotació afecta la component X en l'eix Y, en la direcció negativa.

Aquestes equacions assumeixen que l'eix X apunta cap a la dreta i l'eix Y apunta cap amunt, que és la convenció estàndard en moltes aplicacions gràfiques.