Portes Quàntiques: De la Metàfora de la Moneda a les Matrius

Explicació Didàctica: La Metàfora de la Moneda

Per introduir les portes quàntiques, imaginem una moneda. Quan una moneda està sobre una taula, pot estar en dues posicions possibles: cara amunt o creu amunt, que es poden associar als valors clàssics 0 i 1. En el món clàssic, quan llançem una moneda, acabem amb una de les dues opcions, però en el món quàntic, la moneda pot estar en una superposició d'ambdues.

Això significa que la moneda (o qubit, en aquest cas) pot estar en un estat on no és completament cara ni completament creu, sinó una combinació de les dues. Matemàticament, representem l'estat d'un qubit com:

$$|\psi⟩ = \alpha |0⟩ + \beta |1⟩$$

On α i β són coeficients complexos que determinen les probabilitats de trobar el qubit en l'estat |0⟩ o |1⟩ quan el mesurem. Aquests coeficients han de complir la condició:

$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$

Igual que amb la moneda, fins que mesurem l'estat del qubit, no podem saber amb certesa si serà 0 o 1, però les probabilitats estan determinades pels coeficients α i β.

Tipus de Portes Quàntiques

Porta d'Identitat (I)

La porta d'identitat és l'equivalent a no fer res sobre el qubit. Si el qubit entra en un estat determinat, en sortirà en el mateix estat. La matriu que representa aquesta porta és simplement la matriu identitat:

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Porta Pauli-X (NOT)

Aquesta porta és similar a l'operació NOT en la computació clàssica. Canvia l'estat de |0⟩ a |1⟩ i viceversa. La seva representació matricial és:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Així, si apliquem aquesta porta a un qubit en l'estat |0⟩, obtindrem l'estat |1⟩:

$$X |0⟩ = |1⟩$$

Porta Hadamard (H)

La porta Hadamard crea una superposició entre els estats |0⟩ i |1⟩>. Si apliquem aquesta porta a un qubit en l'estat |0⟩, el qubit passa a un estat de superposició equitativa dels dos estats:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Així, si apliquem la porta Hadamard a un qubit en l'estat |0⟩, obtenim:

$$H |0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩ + |1⟩)$$

Això vol dir que, després d'aplicar la porta Hadamard, si mesurem el qubit, tindrem una probabilitat igual (50%) de trobar-lo en l'estat |0⟩ o en l'estat |1⟩.

Porta Pauli-Z (Z)

Aquesta porta inverteix la fase de l'estat |1⟩, però deixa intacte l'estat |0⟩. Matemàticament, es representa així:

$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Aquesta porta no canvia l'estat de |0⟩, però inverteix el signe de |1⟩. Això és útil per manipular la fase dels estats quàntics.

Porta de Control-NOT (CNOT)

La porta CNOT és una porta de dos qubits on un actua com a control i l'altre com a objectiu. Si el qubit de control és |1⟩, la porta aplica una operació NOT al qubit objectiu. Si el qubit de control és |0⟩, no fa res. La seva representació matricial és:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Explicació Formal: Matrius i Vectors

En la representació formal de les portes quàntiques, utilitzem vectors i matrius. Els estats bàsics d'un qubit, |0⟩ i |1⟩, es poden representar com vectors columna:

$$|0⟩ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1⟩ = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Les portes quàntiques són operadors lineals que es poden representar per matrius 2x2 (o més grans per a sistemes de qubits múltiples). Quan una porta s'aplica a un qubit, es realitza la multiplicació de la matriu de la porta pel vector d'estat del qubit. Per exemple, si tenim el qubit en l'estat |0⟩ i apliquem la porta Pauli-X:

$$X |0⟩ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |1⟩$$

Aquest és un exemple bàsic de com les portes quàntiques manipulen els estats dels qubits.