Explicació didàctica — Taula d'Observabilitat d'Atmosferes d'Exoplanetes (SNR)

2. Resum de les magnituds claus

F_p: flux del planeta (depèn de la temperatura del planeta i de la longitud d'ona analitzada).
F_★: flux de l'estrella (per la mateixa longitud d'ona).
K: magnitud en banda K (utilitzada per estimar la fotometria i el soroll de fons).
d: durada de l'esdeveniment observacional (trànsit o eclipsi) en dies.
H: altura d'escala de l'atmosfera del planeta (en km o m).
δ_atm: senyal d'una característica espectral d'una altura d'escala (fracció de flux bloquejat/afegit).

3. SNR d'emissió (E_λ)

La idea és comparar la llum del planeta respecte la de l'estrella a una longitud d'ona λ i expressar-ho com una relació respecte d'un planeta de referència (HD 209458 b). L'equació usada és:

\[ E_{\lambda} = \frac{F_{p}}{F_{\star}} \cdot \frac{F_{\star,\text{ref}}}{F_{p,\text{ref}}} \cdot \sqrt{10^{-0.4(K-K_{\text{ref}})}} \cdot \sqrt{\frac{d}{d_{\text{ref}}}} \]

Desglossament i raonament

Fracció bàsica de flux entre planeta i estrella: \(F_p/F_{\star}\). Si el planeta és una esfera que emet com un cos negre, \(F_p\) es pot aproximar per la radiància del cos negre a la temperatura efectiva del planeta.
Multipliquem per la inversa del mateix terme per al planeta de referència per expressar-ho de manera relativa: \(\dfrac{F_{\star,\text{ref}}}{F_{p,\text{ref}}}\).
Factor de magnitud K: el terme \(\sqrt{10^{-0.4(K-K_{\text{ref}})}}\) correspon a l'escala de soroll fotònic (Poisson) quan la brillantor de l'estrella difereix del referent.
Factor temporal: la relació \(\sqrt{d/d_{\text{ref}}}\) reflecteix que el soroll escala amb l'arrel quadrada del temps d'integració.

Càlcul de temperatures (T_day o T_eq)

Per calcular la temperatura del planeta (costat diürn o d'equilibri) s'usa l'equació:

\[ T_{\text{day/eq}} = T_{\star} \sqrt{\frac{R_{\star}}{a}} \left( \frac{1}{4f} \right)^{1/4} \]

Nota: Aquí \(a\) és el semieix major en unitats del radi estel·lar (\(R_{\star}\)). Així, \(a/R_{\star}\) és la distància normalitzada.

On:

\(a\) és el semieix major en unitats del radi estel·lar (\(a/R_{\star}\))
\(f\) és el factor de re-redistribució de calor:
- \(f=0.5\) → temperatura del costat diürn (sense redistribució a la nit)
- \(f=1\) → plena redistribució (temperatura d'equilibri)

Un cop tenim \(T_{\text{day}}\) la radiància del planeta a una longitud d'ona λ s'obté de la llei de cos negre (Planck).

4. SNR de transmissió (T_K)

El senyal de transmissió es basa en la idea que l'atmosfera bloqueja una petita fracció d'àrea efectiva durant el trànsit. Per una única altura d'escala, l'excés d'àrea és aproximadament \(2\pi R_p H\). La profunditat relativa d'una característica d'una escala d'altura és:

\[ \delta_{\text{atm}} = \frac{(R_p + H)^2}{R_{\star}^{2}} - \frac{R_p^2}{R_{\star}^{2}} \]

Nota: Quan \(H \ll R_p\), aquesta expressió s'aproxima a \(\delta_{\text{atm}} \approx \frac{2 H R_p}{R_{\star}^{2}}\), que és la forma simplificada utilitzada en molts càlculs ràpids.

Altura d'escala (H)

L'altura d'escala d'una atmosfera ideal es calcula com:

\[ H = \frac{k_B T_{\text{eq}}}{\mu m_H g_{p}} \]

On:

\(k_B\) és la constant de Boltzmann: \(k_B = 1.380649 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}\)
\(m_H\) és la massa atòmica: \(m_H = 1.6735575 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}\)
\(\mu\) és la massa molecular mitjana (adimensional, normalment ≈2.3 per atmosferes H₂/He)
\(g_{p}\) és la gravetat superficial del planeta: \(g_{p} = \dfrac{G M_{p}}{R_{p}^{2}}\)
\(T_{\text{eq}}\) la temperatura d'equilibri (veure secció anterior)

Equivalent amb R: També es pot expressar com \(H = \frac{R T_{\text{eq}}}{\mu g_{p}}\), on \(R = k_B/m_H = 8.3144598\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\) és la constant dels gasos per mol.

Càlcul de T_K (valor relatiu d'SNR per transmissió)

La taula dóna un valor T_K que és el SNR de transmissió expressat relatiu al referent HD 209458 b:

\[ T_{K} = \frac{\delta_{\text{atm}}}{\delta_{\text{atm,ref}}} \cdot \sqrt{10^{-0.4(K-K_{\text{ref}})}} \cdot \sqrt{\frac{d}{d_{\text{ref}}}} \]

Aquesta expressió té la mateixa estructura que per l'emissió: raó de senyals × factor de magnitud (soroll) × factor de durada.

5. Procediment pràctic pas a pas (resum)

Recollir paràmetres del sistema: \(T_{\star}, R_{\star}, R_{p}, M_{p}, a\) (o \(a/R_{\star}\)), magnitud K i durada del trànsit/eclipsi \(d\).
Calcular \(T_{\text{eq}}\) i \(T_{\text{day}}\) amb l'equació de radiació (triar \(f\) segons si volem temperatura de dia o mitjana).
Calcular \(g_{p} = G M_{p} / R_{p}^{2}\).
Calcular l'altura d'escala \(H = k_B T_{\text{eq}} / (\mu m_H g_{p})\).
Calcular \(\delta_{\text{atm}} = (R_p + H)^2/R_{\star}^2 - R_p^2/R_{\star}^2\).
Calcular \(F_p/F_★\) per a l'emissió usant la llei de cos negre.
Aplicar les equacions relatives a la referència (E_λ i T_K), amb els valors de referència d'HD 209458 b.

6. Exemple numèric il·lustratiu (esquemàtic)

A continuació s'explica un càlcul molt simplificat per veure l'ordre de magnitud.

Supòsits (valors hipotètics simplificats):

\(T_{\star}=6000\ \mathrm{K}\), \(T_{\text{eq}}=1500\ \mathrm{K}\)
\(R_p = 1 R_{J} = 7.1492 \times 10^{7}\ \mathrm{m}\)
\(M_p = 1 M_{J} = 1.898 \times 10^{27}\ \mathrm{kg}\)
\(R_{\star} = 1 R_{\odot} = 6.957 \times 10^{8}\ \mathrm{m}\)
\(\mu = 2.3\) (atmosfera H₂/He)

1. Càlcul de la gravetat superficial:

\[ g_p = \frac{G M_p}{R_p^{2}} = \frac{6.67430 \times 10^{-11} \times 1.898 \times 10^{27}}{(7.1492 \times 10^{7})^{2}} \approx 24.79\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]

2. Càlcul de l'altura d'escala:

\[ H = \frac{k_B T_{\text{eq}}}{\mu m_H g_p} = \frac{1.380649 \times 10^{-23} \times 1500}{2.3 \times 1.6735575 \times 10^{-27} \times 24.79} \approx 9.8 \times 10^{4}\ \mathrm{m} \approx 98\ \mathrm{km} \]

3. Càlcul de δ_atm:

\[ \delta_{\text{atm}} = \frac{(R_p + H)^2}{R_{\star}^{2}} - \frac{R_p^2}{R_{\star}^{2}} = \frac{(7.1492 \times 10^{7} + 9.8 \times 10^{4})^2 - (7.1492 \times 10^{7})^2}{(6.957 \times 10^{8})^{2}} \approx 2.9 \times 10^{-5} \]

Aquest \(\delta_{\text{atm}} \approx 29\) parts per milió (ppm) és típic per a planetes calents de tipus Júpiter.

7. Limitacions i advertències pràctiques

Composició atmosfèrica: l'altura d'escala depèn directament de \(\mu\). Les fórmules assumeixen \(\mu \approx 2.3\) per atmosferes H₂/He. Planetes amb atmosferes diferents tindran valors de H diferents.
Factors de soroll no contemplats: l'enfocament simplificat només contempla soroll fotònic (Poisson). En observacions reals cal considerar soroll instrumental i sistemàtics.
Referència: els valors són relatius a HD 209458 b; això facilita comparacions relatives però no reemplaça una modelització completa.
Altres efectes: no es consideren efectes com núvols, inversions tèrmiques, o variacions en l'emissivitat/absorbivitat.

8. Recursos i enllaços d'interès

Per explorar exemples reals d'espectres de transmissió d'exoplanetes es pot consultar l'arxiu d'espectres de transmissió, on es recullen fitxers de dades derivats de treballs publicats.

Altres eines i bases de dades:

exo.MAST — Taules i eines d'Exo.MAST
NASA Exoplanet Archive
ExoCTK — Eina d'ajuda per planificar observacions JWST

9. Referències (estil APA 7)

Gaia Collaboration, Brown, A. G. A., Vallenari, A., et al. (2018). A&A, 616, A1. https://doi.org/10.1051/0004-6361/201833051
Kempton, E. M. R., Bean, J. L., Louie, D. R., et al. (2018). Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 130, 114401. https://doi.org/10.1088/1538-3873/aadf6f
Seager, S., & Mallén-Ornelas, G. (2003). ApJ, 585, 1038. https://doi.org/10.1086/346105
Stassun, K. G., Collins, K. A., & Gaudi, B. S. (2017). AJ, 153, 136. https://doi.org/10.3847/1538-3881/aa5df3
Stevenson, K. B. (2018). Exoplanet Atmosphere Observability Table SNR Calculations (v1.0). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.3578894
Mullally, S. E., Rodriguez, D. R., Stevenson, K. B., & Wakeford, H. R. (2019). The Exo.MAST Table for JWST Exoplanet Atmosphere Observability. (nota descriptiva, draft 16 Dec 2019).

Taula d'Observabilitat d'Atmosferes d'Exoplanetes (SNR) — Explicació didàctica

1. Objectiu

2. Resum de les magnituds claus

3. SNR d'emissió (E_λ)

Desglossament i raonament

Càlcul de temperatures (T_day o T_eq)

4. SNR de transmissió (T_K)

Altura d'escala (H)

Càlcul de T_K (valor relatiu d'SNR per transmissió)

5. Procediment pràctic pas a pas (resum)

6. Exemple numèric il·lustratiu (esquemàtic)

7. Limitacions i advertències pràctiques

8. Recursos i enllaços d'interès

9. Referències (estil APA 7)

1. Objectiu

2. Resum de les magnituds claus

3. SNR d'emissió (Eλ)

Desglossament i raonament

Càlcul de temperatures (Tday o Teq)

4. SNR de transmissió (TK)

Altura d'escala (H)

Càlcul de TK (valor relatiu d'SNR per transmissió)

5. Procediment pràctic pas a pas (resum)

6. Exemple numèric il·lustratiu (esquemàtic)

7. Limitacions i advertències pràctiques

8. Recursos i enllaços d'interès

9. Referències (estil APA 7)

3. SNR d'emissió (E_λ)

Càlcul de temperatures (T_day o T_eq)

4. SNR de transmissió (T_K)

Càlcul de T_K (valor relatiu d'SNR per transmissió)