Per què un càntir té la seva forma? El càlcul, pas a pas

Aquest article agafa el problema de refredar aigua amb un càntir de fang porós i el converteix en un problema de matemàtiques amb quatre passos ben separats:

1. Descriure la geometria → 2. Plantar el balanç de massa → 3. Plantar el balanç d'energia → 4. Minimitzar el temps amb optimització

Anem a veure cada un com si ho féssim a classe.

Pas 1: La forma del càntir és una funció

El cos del càntir és una superfície de revolució: agafes una corba $$r(z)$$ (el radi a cada alçada $$z$$) i la fas girar al voltant de l'eix vertical.

Es tria una família de corbes amb només 3 paràmetres:

$$ r(z)=r_b+(r_M-r_b)\, \sin^{n}\!\left(\frac{\pi z}{\mathcal H}\right) $$

$$r_b$$ = radi de la base i del coll (0,020–0,080 m)
$$r_M$$ = radi màxim de la panxa (0,050–0,150 m)
$$n$$ = exponent que controla com és de "panxut" (0,5–4,0)
$$\mathcal H = 0,20~\mathrm{m}$$ (alçada fixa)

Idea clau: amb només tres números pots descriure qualsevol
càntir. L'objectiu és trobar la terna
$$(r_b,r_M,n)$$
que refreda l'aigua més ràpidament.

D'aquesta funció en surten les àrees geomètriques que intervenen en el problema.

Superfície lliure de l'aigua

$$ A=\pi r(h)^2 $$

Paret de fang mullada

És la superfície per on s'evapora l'aigua:

$$ S= \int_0^h 2\pi r(z)\sqrt{1+\left(r'(z)\right)^2}\,dz $$

Paret seca

És la part superior que participa principalment en la radiació tèrmica:

$$ D= \int_h^{\mathcal H} 2\pi r(z)\sqrt{1+\left(r'(z)\right)^2}\,dz $$

Pas 1b: Càlcul pas a pas del càntir esfèric

Aquest és el model original de Zubizarreta i Pinto (1995). Es pren una esfera de radi $R=0,10\ \mathrm{m}$.

Sigui $h$ l'alçada del casquet esfèric buit des de la superfície de l'aigua fins a la part superior. Llavors:

$$ V=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{\pi}{3}(3Rh^2-h^3) $$ $$ A=\pi(2Rh-h^2) $$ $$ S=2\pi R(2R-h) $$ $$ D=4\pi R^2-S $$

El balanç de massa és:

$$ -\frac{dV}{dt}=k'(A+S)(H_s-H) $$

Amb $k'=80$, $H_s-H=0,018-0,011=0,007$, queda:

$$ -\frac{dV}{dt}=0,56(A+S) $$

El balanç d'energia és:

$$ Vc_p\frac{d\theta_L}{dt} = h_c(A+S)(\theta_G-\theta_S) + f\varepsilon\sigma D \left[(\theta_G+273)^4-(\theta_S+273)^4\right] - U(A+S)(\theta_L-\theta_S) - \lambda_w\left(-\frac{dV}{dt}\right) $$

Constants: $c_p=1,0$, $h_c=20,8$, $f\varepsilon\sigma=3,05\cdot10^{-8}$, $U=22$, $\lambda_w=583$, $\theta_G=39,0$, $\theta_S=24,2$.

Condicions inicials: $V(0)=3,161\ \mathrm{kg}$, $\theta_L(0)=39,0^\circ\mathrm{C}$. Es resol numèricament (Runge–Kutta 4 + Newton per a $h$ a partir de $V$).

Resultat experimental del model esfèric: l'aigua baixa a uns $24^\circ\mathrm{C}$ en unes 7 h. En la comparació per a $25^\circ\mathrm{C}$ s'obté un temps de refredament d'aproximadament $3,99\ \mathrm{h}$.

Pas 1c: Càlcul pas a pas del càntir cilíndric

Considerem un cilindre de radi $R_c$ i alçada total $H_c=0,20\ \mathrm{m}$. Si l'aigua arriba a una alçada $h$, llavors:

$$ V=\pi R_c^2 h $$ $$ A=\pi R_c^2 $$ $$ S=2\pi R_c h $$ $$ D=2\pi R_c(H_c-h) $$

S'apliquen els mateixos balanços de massa i energia, amb $a=A+S$:

$$ -\frac{dV}{dt}=0,56(A+S) $$ $$ Vc_p\frac{d\theta_L}{dt} = h_c(A+S)(\theta_G-\theta_S) + f\varepsilon\sigma D \left[(\theta_G+273)^4-(\theta_S+273)^4\right] - U(A+S)(\theta_L-\theta_S) - \lambda_w\left(-\frac{dV}{dt}\right) $$

Per comparar amb el càntir esfèric, s'ajusta $R_c$ perquè el volum inicial sigui $3,161\ \mathrm{L}$ amb $h(0)$ conegut. Resolent les EDO s'obté aproximadament $3,31\ \mathrm{h}$ per refredar de $39,0^\circ\mathrm{C}$ a $25,0^\circ\mathrm{C}$ (vegeu taula final).

Pas 2: Balanç de massa (quanta aigua s'evapora)

L'aigua travessa el fang porós i s'evapora a la superfície mullada $$A+S$$.

La taxa de pèrdua de volum és:

$$ \frac{dV}{dt} = -k' (A+S) (H_s-H) $$

on:

$$k'=80~\mathrm{g/(h\cdot m^2)}$$
$$H=0,011~\mathrm{kg/kg}$$
$$H_s=0,018~\mathrm{kg/kg}$$

La lectura física és senzilla:

més superfície mullada → més evaporació;
aire més sec → més evaporació;
més evaporació → més refredament.

Per a batxillerat: aquesta equació recorda una llei de desintegració exponencial, però aquí la velocitat depèn de la geometria del recipient, que canvia a mesura que baixa el nivell d'aigua.

Pas 3: Balanç d'energia (per què baixa la temperatura)

Apliquem el principi de conservació de l'energia:

$$ (Vc_p+M_wc_w) \frac{d\theta_L}{dt} = \underbrace{ h_ca(\theta_G-\theta_S) }_{\text{Convecció}} + \underbrace{ f\varepsilon\sigma D \left[(\theta_G)^4-(\theta_S)^4\right] }_{\text{Radiació}} - \underbrace{ Ua(\theta_L-\theta_S) }_{\text{Transmissió}} - \underbrace{ \lambda_w\left(-\frac{dV}{dt}\right) }_{\text{Calor latent}} $$

Interpretació física dels quatre termes

Convecció
L'aire calent de $$39^\circ\mathrm{C}$$ escalfa la paret mullada. Això dificulta el refredament.
Radiació
La paret seca absorbeix radiació infraroja de l'entorn. També dificulta el refredament.
Transmissió
L'aigua pot perdre calor cap a la paret mullada, que és més freda. Aquest efecte ajuda una mica.
Calor latent d'evaporació
Cada gram evaporat s'emporta energia. Aquest és el mecanisme dominant que refreda el càntir. 💪

Com més gran és la superfície mullada $$a=A+S$$,
més evaporació obtenim i, per tant,
més refredament.
Però alhora també augmenta l'entrada de calor per convecció.
Aquest compromís és el nucli del problema.

Condicions inicials i finals

$$V(0)=3,161~\mathrm{kg}$$
$$\theta_L(0)=39,0^\circ\mathrm{C}$$
Objectiu: $$\theta_L=25,0^\circ\mathrm{C}$$

El sistema està format per dues EDO acoblades:

la massa d'aigua $$V(t)$$;
la temperatura $$\theta_L(t)$$.

Com que $$V$$ només disminueix, l'article utilitza una idea elegant: fer servir $$V$$ com a variable independent.

$$ \frac{d\theta}{dV} = \frac{f(V,\theta,p)} {g(V,\theta,p)} $$

i el temps total queda:

$$ t_f = \int_{V_f}^{V_0} \frac{dV} {-g(V,\theta,p)} $$

Així el temps de refredament es converteix en una funcional que depèn de la forma escollida.

Pas 4: Optimització (trobar la millor forma)

El problema matemàtic és:

$$ \min_{p=(r_b,r_M,n)} J[p] = t_f $$

subjecte a la restricció de volum:

$$ \mathcal V(p) = \int_0^{\mathcal H} \pi r(z)^2\,dz \ge \frac{V_0}{\rho_w} $$

És a dir, el recipient ha de poder contenir els $$3,161$$ litres inicials.

Com es resol numèricament?

Differential Evolution
Una població inicial de 15 formes candidates evoluciona durant 60 generacions mitjançant mutacions i creuaments. Les formes que no compleixen la restricció de volum reben una penalització molt elevada.
Nelder–Mead
A partir de la millor forma trobada globalment, s'executen múltiples refinaments locals per obtenir una convergència precisa.

Resultat

Geometria	Temps de refredament
Cilindre (mateix volum)	3,31 h
Esfera (Zubizarreta & Pinto, 1995)	3,99 h
Càntir òptim	2,86 h ✨

$$ r_b^{*}=0,020~\mathrm{m} $$ $$ r_M^{*}=0,126~\mathrm{m} $$ $$ n^{*}=4,0 $$

Per què aquesta forma és òptima?

Panxa ampla
Un valor gran de $$r_M$$ proporciona molta superfície mullada quan el recipient és ple, exactament quan la major part del refredament es produeix.
Coll estret
Un exponent elevat $$n$$ redueix la superfície seca quan el nivell d'aigua baixa, minimitzant la radiació absorbida.
Base estreta
Redueix el contacte tèrmic amb el suport i manté una bona estabilitat mecànica.

La conclusió més sorprenent és que la forma òptima trobada
mitjançant modelització matemàtica i optimització numèrica
és pràcticament la mateixa que la forma tradicional del càntir.
L'artesania havia convergit empíricament a una solució molt propera
a l'òptim físic i matemàtic.
🏺

Resum visual

FORMA (r_b, r_M, n)
          ↓
GEOMETRIA
   (A, S, D)
          ↓
BALANÇ DE MASSA
          +
BALANÇ D'ENERGIA
          ↓
EDO ACOPLADES
  V(t), θ(t)
          ↓
TEMPS FINAL t_f
          ↓
OPTIMITZACIÓ
          ↓
PANXA AMPLA
+
COLL ESTRET
          ↓
CÀNTIR TRADICIONAL

En resum, la forma del càntir no és una casualitat: és el resultat d'un compromís òptim entre evaporació, captació de calor ambiental i capacitat d'emmagatzematge d'aigua. La matemàtica moderna confirma allò que els terrissers ja sabien per experiència.