Per què un càntir té la seva forma? El càlcul, pas a pas
Aquest article explica com es pot refredar aigua amb un càntir de fang porós
i ho converteix en un problema de matemàtiques amb quatre passos ben separats:
1. Descriure la geometria → 2. Calcular quanta aigua s'evapora → 3. Calcular com baixa la temperatura → 4. Trobar la millor forma possible
Abans de començar: què volen dir aquests símbols?
En aquest article apareixeran dos símbols que sovint espanten: la derivada
$\frac{dV}{dt}$ i la integral $\int$. Aquí els expliquem amb paraules normals.
La derivada $\frac{dV}{dt}$ = "ritme de canvi"
Imagina que estàs omplint una galleda. Si en 1 minut hi has afegit 2 litres,
diem que el volum canvia a un ritme de 2 litres per minut. Això és tot el que
vol dir una derivada:
$$
\frac{dV}{dt}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{\text{canvi de volum}}{\text{canvi de temps}}
=
\frac{\Delta V}{\Delta t}
$$
En llenguatge planer: si en $\Delta t = 0{,}1\ \mathrm{h}$ el volum
baixa $\Delta V = -0{,}05\ \mathrm{kg}$, aleshores
$\frac{dV}{dt}\approx -0{,}5\ \mathrm{kg/h}$. La lletra $d$ només vol dir
"canvi molt petit".
La integral $\int$ = "sumar talls petits"
Si vols calcular l'àrea d'una figura estranya, la pots dividir en moltes tires
molt primes, calcular l'àrea de cada tira i sumar-les totes. Aquesta suma de
trossos infinits és exactament el que fa una integral:
$$
\int_a^b f(x)\,dx
\quad\Longleftrightarrow\quad
\sum_{\text{moltíssims talls}} f(x_i)\cdot\Delta x
$$
En llenguatge planer: en lloc d'escriure $\int$, aquí
sovint escriurem "suma de tots els talls". El resultat és el mateix, però
es veu millor què està passant.
Les equacions diferencials = "regles pas a pas"
Una equació diferencial és una fórmula que diu com canvia una cosa
en cada instant. Es pot resoldre donant passos petits en el temps:
$$
V_{\text{després}}
=
V_{\text{abans}}
+
\left(\frac{dV}{dt}\right)\cdot \Delta t
$$
Repetint aquesta regla moltes vegades (per exemple, 1 cop cada 6 segons),
s'obté la corba $V(t)$ completa sense haver de fer cap càlcul estrany.
Això és el que fan els ordinadors.
Pas 1: La forma del càntir és una funció
El cos del càntir és una superfície de revolució: agafes una corba
$r(z)$ (el radi a cada alçada $z$) i la fas girar al voltant de l'eix vertical.
Es tria una família de corbes amb només 3 paràmetres:
$$
r(z)=r_b+(r_M-r_b)\,
\sin^{n}\!\left(\frac{\pi z}{\mathcal H}\right)
$$
- $r_b$ = radi de la base i del coll (0,020–0,080 m)
- $r_M$ = radi màxim de la panxa (0,050–0,150 m)
- $n$ = exponent que controla com és de "panxut" (0,5–4,0)
- $\mathcal H = 0,20~\mathrm{m}$ (alçada fixa)
Idea clau: amb només tres números pots descriure qualsevol
càntir. L'objectiu és trobar la terna $(r_b,r_M,n)$
que refreda l'aigua més ràpidament.
Superfície lliure de l'aigua (la "tapa" del líquid)
$$
A=\pi\, r(h)^2
$$
És l'àrea d'un cercle: si el radi de la superfície de l'aigua a l'alçada $h$
és $r(h)$, l'àrea és $\pi$ vegades aquest radi al quadrat.
Paret de fang mullada (per on s'evapora)
Aquí és on normalment apareixeria una integral. Ho farem amb una suma.
Com es calcula sense integrals:
1. Tallem l'alçada $0$ fins a $h$ en moltes tires primes, per exemple 100.
2. Cada tira té amplada $\Delta z = h/100$.
3. A cada tira mirem el radi $r(z_i)$ i mesurem quant hauria de girar
la corba (la seva "inclinació").
4. L'àrea de cada anell de paret és aproximadament
$2\pi\,r(z_i)\cdot \Delta z$ (com si fos un cilindre molt baixet).
5. Sumem tots els anells:
$$
S\;\approx\;\sum_{i=1}^{100} 2\pi\, r(z_i)\,\Delta z
$$
Si fem les tires més i més primes (1000, 10000, ...), la suma s'aproxima
a un valor fix. Aquest valor és el que els matemàtics escriuen com a integral:
$$
S=\int_0^{h} 2\pi\,r(z)\,dz
$$
(La fórmula completa amb l'arrel $\sqrt{1+r'(z)^2}$ té en compte que la
paret no és vertical, sinó inclinada; és un factor geomètric entre 1 i 2.)
Paret seca (per on entra radiació)
És la part de dalt, que no toca l'aigua. Es calcula igual, però sumant
les tires des de l'alçada $h$ fins a la part més alta $\mathcal H$:
$$
D\;\approx\;\sum_{i} 2\pi\, r(z_i)\,\Delta z
\quad\text{(des de }h\text{ fins a }\mathcal H\text{)}
$$
Pas 1b: Càlcul pas a pas del càntir esfèric
Aquest és el model original de Zubizarreta i Pinto (1995). Es pren una esfera
de radi $R=0,10\ \mathrm{m}$.
Si l'aigua arriba fins a una alçada $h$ dins l'esfera, llavors el volum
d'aigua és l'esfera sencera menys el casquet buit de dalt. Les fórmules
següents surten de geometria clàssica (no calen derivades ni integrals):
$$
V=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{\pi}{3}(3Rh^2-h^3)
$$
$$
A=\pi(2Rh-h^2)
$$
$$
S=2\pi R(2R-h)
$$
$$
D=4\pi R^2-S
$$
El balanç de massa diu quanta aigua marxa cada hora:
$$
-\frac{dV}{dt}=k'\,(A+S)\,(H_s-H)
$$
Traducció: "el volum perdut per hora és igual al coeficient
$k'$ multiplicat per la superfície mullada $(A+S)$ i per la diferència
d'humitat entre l'aire saturador i l'aire real".
Amb els valors $k'=80$, $H_s=0{,}018$ i $H=0{,}011$ queda:
$$
-\frac{dV}{dt}=0{,}56\,(A+S)
\quad\text{(en kg/h)}
$$
El balanç d'energia diu com baixa la temperatura:
$$
Vc_p\frac{d\theta_L}{dt}
=
h_c(A+S)(\theta_G-\theta_S)
+
f\varepsilon\sigma D
\left[(\theta_G+273)^4-(\theta_S+273)^4\right]
-
U(A+S)(\theta_L-\theta_S)
-
\lambda_w\left(-\frac{dV}{dt}\right)
$$
Constants: $c_p=1{,}0$, $h_c=20{,}8$, $f\varepsilon\sigma=3{,}05\cdot10^{-8}$,
$U=22$, $\lambda_w=583$, $\theta_G=39{,}0$, $\theta_S=24{,}2$.
Com es resol sense saber derivades?
Es fa un pas a pas en el temps. Triem un pas petit, per exemple
$\Delta t = 0{,}01\ \mathrm{h}$ (36 segons). Llavors, en cada iteració:
1. Amb el volum $V$ actual, calculem $h$ (geometria de l'esfera).
2. Calculem $A$, $S$, $D$.
3. Calculem $\frac{dV}{dt}$ amb la fórmula del balanç de massa.
4. Calculem $\frac{d\theta_L}{dt}$ amb la fórmula del balanç d'energia.
5. Actualitzem: $V_{\text{nou}} = V - \frac{dV}{dt}\cdot \Delta t$ i
$\theta_{L,\text{nova}} = \theta_L + \frac{d\theta_L}{dt}\cdot \Delta t$.
6. Tornem al punt 1 amb els nous valors.
Repetint això unes 400 vegades (fins a 4 hores), obtenim la corba completa.
Condicions inicials: $V(0)=3{,}161\ \mathrm{kg}$, $\theta_L(0)=39{,}0^\circ\mathrm{C}$.
Resultat experimental del model esfèric: l'aigua baixa a uns
$24^\circ\mathrm{C}$ en unes 7 h. Per a $25^\circ\mathrm{C}$ s'obté
un temps d'aproximadament $3{,}99\ \mathrm{h}$.
Pas 1c: Càlcul pas a pas del càntir cilíndric
Considerem un cilindre de radi $R_c$ i alçada total $H_c=0{,}20\ \mathrm{m}$.
Si l'aigua arriba a una alçada $h$, llavors:
$$
V=\pi R_c^2 h
$$
$$
A=\pi R_c^2
$$
$$
S=2\pi R_c h
$$
$$
D=2\pi R_c(H_c-h)
$$
S'apliquen els mateixos balanços de massa i energia, amb $a=A+S$:
$$
-\frac{dV}{dt}=0{,}56\,(A+S)
$$
$$
Vc_p\frac{d\theta_L}{dt}
=
h_c(A+S)(\theta_G-\theta_S)
+
f\varepsilon\sigma D
\left[(\theta_G+273)^4-(\theta_S+273)^4\right]
-
U(A+S)(\theta_L-\theta_S)
-
\lambda_w\left(-\frac{dV}{dt}\right)
$$
Nota: aquí no cal resoldre cap equació a mà. N'hi ha prou
amb anar donant passos petits de temps, com al cas esfèric. Canvia
només la manera de calcular $h$ a partir de $V$, que ara és
$h = V/(\pi R_c^2)$.
Ajustant $R_c$ perquè el volum inicial sigui $3{,}161\ \mathrm{L}$,
s'obté aproximadament $3{,}31\ \mathrm{h}$ per refredar de
$39{,}0^\circ\mathrm{C}$ a $25{,}0^\circ\mathrm{C}$ (vegeu la taula final).
Pas 2: Balanç de massa (quanta aigua s'evapora)
L'aigua travessa el fang porós i s'evapora a la superfície mullada $A+S$.
La taxa de pèrdua de volum és:
$$
\frac{dV}{dt}
=
-k'
(A+S)
(H_s-H)
$$
on:
- $k'=80~\mathrm{g/(h\cdot m^2)}$
- $H=0{,}011~\mathrm{kg/kg}$
- $H_s=0{,}018~\mathrm{kg/kg}$
Lectura sense símbols: cada hora es perd una quantitat
d'aigua proporcional a la superfície mullada. Com més superfície i més
aire sec, més evaporació.
- més superfície mullada → més evaporació;
- aire més sec → més evaporació;
- més evaporació → més refredament.
Pas 3: Balanç d'energia (per què baixa la temperatura)
Apliquem el principi de conservació de l'energia:
$$
Vc_p\frac{d\theta_L}{dt}
=
\underbrace{
h_c\,a\,(\theta_G-\theta_S)
}_{\text{Convecció}}
+
\underbrace{
f\varepsilon\sigma D
\left[(\theta_G+273)^4-(\theta_S+273)^4\right]
}_{\text{Radiació}}
-
\underbrace{
U\,a\,(\theta_L-\theta_S)
}_{\text{Transmissió}}
-
\underbrace{
\lambda_w\left(-\frac{dV}{dt}\right)
}_{\text{Calor latent}}
$$
Traducció: "la calor que guanya o perd l'aigua en una hora
és igual a la calor que li arriba per convecció més la que li arriba per
radiació, menys la que marxa cap a la paret freda, menys la que s'emporta
l'aigua que s'evapora".
Interpretació física dels quatre termes
-
Convecció
L'aire calent de $39^\circ\mathrm{C}$ escalfa la paret mullada.
Això dificulta el refredament.
-
Radiació
La paret seca absorbeix radiació infraroja de l'entorn.
També dificulta el refredament.
-
Transmissió
L'aigua pot perdre calor cap a la paret mullada, que és més freda.
Aquest efecte ajuda una mica.
-
Calor latent d'evaporació
Cada gram evaporat s'emporta energia.
Aquest és el mecanisme dominant que refreda el càntir.
💪
Com més gran és la superfície mullada $a=A+S$,
més evaporació obtenim i, per tant, més refredament.
Però alhora també augmenta l'entrada de calor per convecció.
Aquest compromís és el nucli del problema.
Condicions inicials i finals
- $V(0)=3{,}161~\mathrm{kg}$
- $\theta_L(0)=39{,}0^\circ\mathrm{C}$
- Objectiu: $\theta_L=25{,}0^\circ\mathrm{C}$
El sistema té dues incògnites que van canviant amb el temps:
- la massa d'aigua $V(t)$;
- la temperatura $\theta_L(t)$.
Idea elegant: com que el volum sempre baixa, podem fer servir
$V$ com a "rellotge". En lloc de preguntrar-nos "com canvia tot amb el temps?",
ens preguntem "com canvia la temperatura a mesura que es va perdent aigua?".
Això permet integrar (és a dir, sumar) només una vegada i obtenir
el temps total de refredament.
El temps total que triga a refredar-se es calcula sumant molts passos petits:
$$
t_f
\;\approx\;
\sum_{i}
\frac{-\Delta V_i}{\left(\frac{dV}{dt}\right)_i}
$$
on cada $\Delta V_i$ és un petit canvi de volum (per exemple, 1 gram)
i $\left(\frac{dV}{dt}\right)_i$ és la velocitat d'evaporació en aquell moment.
Pas 4: Optimització (trobar la millor forma)
El problema matemàtic és:
$$
\min_{p=(r_b,r_M,n)}
t_f
$$
subjecte a la restricció de volum:
$$
\mathcal V(p)
=
\int_0^{\mathcal H}
\pi r(z)^2\,dz
\;\ge\;
\frac{V_0}{\rho_w}
$$
Traducció: "busca els valors $(r_b,r_M,n)$ que fan que el
temps de refredament $t_f$ sigui el més petit possible, però amb la condició
que el càntir pugui contenir almenys 3,161 litres". La integral del volum
es calcula igual que abans: sumant anells petits.
Com es resol numèricament?
-
Differential Evolution
Una població inicial de 15 formes candidates evoluciona durant
60 generacions mitjançant mutacions i creuaments.
Les formes que no compleixen la restricció de volum reben una
penalització molt elevada.
-
Nelder–Mead
A partir de la millor forma trobada globalment, s'executen múltiples
refinaments locals per obtenir una convergència precisa.
Resultat
| Geometria |
Temps de refredament |
| Cilindre (mateix volum) |
3,31 h |
| Esfera (Zubizarreta & Pinto, 1995) |
3,99 h |
| Càntir òptim |
2,86 h ✨ |
$$
r_b^{*}=0{,}020~\mathrm{m}
$$
$$
r_M^{*}=0{,}126~\mathrm{m}
$$
$$
n^{*}=4{,}0
$$
Per què aquesta forma és òptima?
-
Panxa ampla
Un valor gran de $r_M$ proporciona molta superfície mullada
quan el recipient és ple, exactament quan la major part del
refredament es produeix.
-
Coll estret
Un exponent elevat $n$ redueix la superfície seca quan el nivell
d'aigua baixa, minimitzant la radiació absorbida.
-
Base estreta
Redueix el contacte tèrmic amb el suport i manté una bona
estabilitat mecànica.
La conclusió més sorprenent és que la forma òptima trobada mitjançant
modelització matemàtica i optimització numèrica és pràcticament la mateixa
que la forma tradicional del càntir. L'artesania havia convergit
empíricament a una solució molt propera a l'òptim físic i matemàtic.
🏺
Resum visual
FORMA (r_b, r_M, n)
↓
GEOMETRIA
(A, S, D)
↓
BALANÇ DE MASSA
+
BALANÇ D'ENERGIA
↓
PAS A PAS EN EL TEMPS
V(t), θ(t)
↓
TEMPS FINAL t_f
↓
OPTIMITZACIÓ
↓
PANXA AMPLA
+
COLL ESTRET
↓
CÀNTIR TRADICIONAL
En resum, la forma del càntir no és una casualitat: és el resultat d'un
compromís òptim entre evaporació, captació de calor ambiental i capacitat
d'emmagatzematge d'aigua. La matemàtica moderna confirma allò que els
terrissers ja sabien per experiència.