Es demana obtenir la funció lògica en forma de suma de minterms per un sistema de 5 variables, i a partir d’aquesta representar la taula de veritat, dissenyar els mapes de Karnaugh i optimitzar-la pas a pas.
E) es mostra per separat.Es defineix la funció:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)
On:
A B són iguals: 00 o 11): els minterms són m(0), m(2), m(4), m(6) i m(24), m(26), m(28), m(30).
A B són diferents: 01 o 10): els minterms són m(9), m(11), m(13), m(15) i m(17), m(19), m(21), m(23).
E.
En aquesta capa, F = 1 quan AB = 00 o 11.
| AB | CD | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | |
| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 per E = 0.
En aquesta capa, F = 1 quan AB = 01 o 10.
| AB | CD | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | |
| 00 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 01 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
E.
Observem que:
F = 1 quan AB = 00 o 11 → equivalent a A XNOR B.
F = 1 quan AB = 01 o 10 → equivalent a A XOR B.
Per tant, la funció global es pot expressar com:
F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B))
O, combinant els termes:
F = (A XNOR B) XOR E
En aquest mètode es combina la informació de les dues capes en una única taula. Es defineix una funció diferent (F₂) amb un patró que permet observar solapaments verticals reals:
Per F₂ es defineix que:
AB = 00: Totes les cel·les (tots els valors de CD) són 1.AB = 01: Totes les cel·les són 0.AB = 11: Les cel·les per CD = 00 i 01 són 1; per CD = 11 i 10 són 0.AB = 10: Totes les cel·les són 0.AB = 00: Totes les cel·les són 1 (més unificació vertical amb la capa 0).AB = 01: Les cel·les per CD = 00 i 01 són 0; per CD = 11 i 10 són 1.AB = 11: Les cel·les per CD = 00 i 01 són 1 (solapament vertical amb la capa 0); per CD = 11 i 10 són 0.AB = 10: Totes les cel·les són 1 (sense solapament, ja que la capa 0 és 0).A continuació es mostra la taula on cada cel·la conté dos valors:
| AB | CD | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | |
| 00 |
1
1
|
1
1
|
1
1
|
1
1
|
| 01 |
0
0
|
0
0
|
0
1
|
0
1
|
| 11 |
1
1
|
1
1
|
0
0
|
0
0
|
| 10 |
0
1
|
0
1
|
0
1
|
0
1
|
1 en totes les cel·les per ambdós valors (E=0 i E=1).00 i 01 tenen 1 per ambdós nivells.Analitzant la taula de solapament vertical per F₂, es dedueix:
E. Això condueix al terme A'B' (amb A = 0 i B = 0).
00 i 01 (on es troba verticalment 1 en ambdós nivells), el valor és 1 independentment de E; es pot extreure el terme AB · C' (ja que per columnes 00 i 01, C = 0).
11 i 10 quan E = 1, donant el terme A'B · C · E (ja que per aquestes columnes, C = 1).
E = 1 (i 0 quan E = 0), resultant en el terme AB' · E.
Per tant, la funció simplificada per F₂ amb solapament vertical és:
F₂ = (A'B') + (AB · C') + (A'B · C · E) + (AB' · E)
E.
Funció no simplificada:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)
Funció simplificada (Part 1 – sense solapament vertical):
F = (A XNOR B) XOR E
Funció simplificada (Part 2 – amb solapament vertical per F₂):
F₂ = (A'B') + (AB · C') + (A'B · C · E) + (AB' · E)
Un mapa de Karnaugh de 4 variables té 16 cel·les (2⁴ = 16). Amb 5 variables hi ha 32 combinacions, per això es divideix en 2 capes:
La separació en capes permet identificar agrupaments dins de cada mapa i també entre capes. Quan dues cel·les en la mateixa posició (una per cada capa) són 1, es pot realitzar una agrupació vertical que simplifica la funció.
Es demana obtenir la funció lògica en forma de suma de minterms per un sistema de 5 variables:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)
En representar-la en una única taula unificada de Karnaugh, utilitzarem:
A i B en l'ordre Gray: 00, 01, 11, 10.
C, D, E en l'ordre Gray per a 3 bits: 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100.
Cada minterm representa una combinació única de les 5 variables. Per exemple:
m(0) = 00000 → A = 0, B = 0 i CDE = 000 → F = 1.
m(2) = 00010 → A = 0, B = 0 i CDE = 010 → F = 1.
m(4) = 00100 → A = 0, B = 0 i CDE = 100 → F = 1.
Organitzem les 32 combinacions en una taula on:
A, B en l'ordre Gray: 00, 01, 11, 10.
C, D, E en l'ordre Gray per a 3 bits: 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100.
F segons la definició de la funció. Per exemple, per la fila 00 (A = 0, B = 0):
000: corresp. a m(0) → F = 1.
010: corresp. a m(2) → F = 1.
100: corresp. a m(4) → F = 1.
110: corresp. a m(6) → F = 1.
00 reben 0 si no hi ha un minterm assignat.
| AB | CDE | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 000 | 001 | 011 | 010 | 110 | 111 | 101 | 100 | |
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 01 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
A partir de la taula unificada, observem grups de 1's que indiquen que algunes variables poden eliminar-se del terme. Per exemple:
E (que apareix en les columnes), podem eliminar E del terme corresponent.
00 (A = 0, B = 0) i en la fila 11 (A = 1, B = 1) poden donar termes com A'B' o AB amb algunes condicions sobre C i D, segons quins grups s'identifiquin.
La taula unificada de Karnaugh per 5 variables, amb files per A, B i columnes per C, D, E, permet representar totes les 32 combinacions i identificar grups per simplificar la funció. Aquesta representació és completament equivalent a separar la informació en dues capes i permet arribar als mateixos resultats de simplificació.
Per exemple, amb els mètodes anteriors s'havia arribat a:
F = (A XNOR B) XOR E
F₂ = (A'B') + (AB · C') + (A'B · C · E) + (AB' · E)
La taula unificada permet identificar de manera directa els mateixos grups, tot integrant la variable E dins de les columnes.
Amb aquesta representació unificada, es pot visualitzar de manera didàctica com, tot i que la variable E forma part de la taula de Karnaugh, els agrupaments (grups de 1's adjacents) s'identifiquen igual que en el cas de tenir les dues capes per separat, arribant als mateixos resultats de simplificació.