Problema de 5 Variables – Pas a Pas

Es demana obtenir la funció lògica en forma de suma de minterms per un sistema de 5 variables, i a partir d’aquesta representar la taula de veritat, dissenyar els mapes de Karnaugh i optimitzar-la pas a pas.

Sense solapament vertical: Cada capa (segons el valor de E) es mostra per separat.
Amb solapament vertical: Es combina la informació de les dues capes en una única taula que evidencia grups verticals amb el mateix valor.

Part 1: Sense Solapament Vertical

Pas 1: Taula de la Veritat i Funció No Simplificada

Es defineix la funció:

F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

On:

Per E = 0 (quan A B són iguals: 00 o 11): els minterms són m(0), m(2), m(4), m(6) i m(24), m(26), m(28), m(30).
Per E = 1 (quan A B són diferents: 01 o 10): els minterms són m(9), m(11), m(13), m(15) i m(17), m(19), m(21), m(23).

Pas 1.1: La taula de veritat reflecteix la divisió de minterms segons el valor de E.

Pas 2: Mapes de Karnaugh Separats

Capa E = 0

En aquesta capa, F = 1 quan AB = 00 o 11.

Karnaugh per E = 0
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	1	1	1	1
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	0	0	0	0

Pas 2.1: Aquest mapa mostra clarament el patró de 1 per E = 0.

Capa E = 1

En aquesta capa, F = 1 quan AB = 01 o 10.

Karnaugh per E = 1
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	1	1	1	1
11	0	0	0	0
10	1	1	1	1

Pas 2.2: Cada mapa conté 16 cel·les amb els patrons indicats, segons el valor de E.

Pas 3: Simplificació Sense Solapament Vertical

Observem que:

Per E = 0: F = 1 quan AB = 00 o 11 → equivalent a A XNOR B.
Per E = 1: F = 1 quan AB = 01 o 10 → equivalent a A XOR B.

Per tant, la funció global es pot expressar com:

F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B))

O, combinant els termes:

F = (A XNOR B) XOR E

Pas 3.1: Aquesta simplificació es basa en el comportament separat de cada capa sense tenir en compte possibles agrupaments verticals.

Part 2: Amb Solapament Vertical

En aquest mètode es combina la informació de les dues capes en una única taula. Es defineix una funció diferent (F₂) amb un patró que permet observar solapaments verticals reals:

Per F₂ es defineix que:

Capa E = 0:
- Per AB = 00: Totes les cel·les (tots els valors de CD) són 1.
- Per AB = 01: Totes les cel·les són 0.
- Per AB = 11: Les cel·les per CD = 00 i 01 són 1; per CD = 11 i 10 són 0.
- Per AB = 10: Totes les cel·les són 0.
Capa E = 1:
- Per AB = 00: Totes les cel·les són 1 (més unificació vertical amb la capa 0).
- Per AB = 01: Les cel·les per CD = 00 i 01 són 0; per CD = 11 i 10 són 1.
- Per AB = 11: Les cel·les per CD = 00 i 01 són 1 (solapament vertical amb la capa 0); per CD = 11 i 10 són 0.
- Per AB = 10: Totes les cel·les són 1 (sense solapament, ja que la capa 0 és 0).

Pas 1 (Part 2): La taula de veritat inicial és la mateixa, però els mapes per E = 0 i E = 1 tenen patrons diferents que permeten solapar alguns valors.

Pas 2: Mapa de Karnaugh Combinat amb Solapament Vertical

A continuació es mostra la taula on cada cel·la conté dos valors:

Taula de Solapament Vertical per F₂
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	1 1	1 1	1 1	1 1
01	0 0	0 0	0 1	0 1
11	1 1	1 1	0 0	0 0
10	0 1	0 1	0 1	0 1

Pas 2.1: En aquesta taula, es poden identificar agrupaments verticals:

La fila AB = 00 té 1 en totes les cel·les per ambdós valors (E=0 i E=1).
A la fila AB = 11, les columnes 00 i 01 tenen 1 per ambdós nivells.

Pas 3: Simplificació Amb Solapament Vertical

Analitzant la taula de solapament vertical per F₂, es dedueix:

Per AB = 00: En totes les columnes, F₂ = 1 independentment de E. Això condueix al terme A'B' (amb A = 0 i B = 0).
Per AB = 11 (fila on A = 1 i B = 1): A les columnes 00 i 01 (on es troba verticalment 1 en ambdós nivells), el valor és 1 independentment de E; es pot extreure el terme AB · C' (ja que per columnes 00 i 01, C = 0).
Per AB = 01 (A = 0, B = 1): El valor és 1 només en les columnes 11 i 10 quan E = 1, donant el terme A'B · C · E (ja que per aquestes columnes, C = 1).
Per AB = 10 (A = 1, B = 0): El valor és 1 en totes les columnes quan E = 1 (i 0 quan E = 0), resultant en el terme AB' · E.

Per tant, la funció simplificada per F₂ amb solapament vertical és:

F₂ = (A'B') + (AB · C') + (A'B · C · E) + (AB' · E)

Pas 3.1: S'han extret els termes dels grups verticals i, per les cel·les sense solapament, s'ha mantingut la dependència de E.

Resum Final

Funció no simplificada:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

Funció simplificada (Part 1 – sense solapament vertical):
F = (A XNOR B) XOR E

Funció simplificada (Part 2 – amb solapament vertical per F₂):
F₂ = (A'B') + (AB · C') + (A'B · C · E) + (AB' · E)

Com Funcionen les Capes en un Mapa de Karnaugh de 5 Variables

1. Per què es fan capes?

Un mapa de Karnaugh de 4 variables té 16 cel·les (2⁴ = 16). Amb 5 variables hi ha 32 combinacions, per això es divideix en 2 capes:

Capa 1: E = 0
Capa 2: E = 1

2. Beneficis i Agrupaments entre Capes

La separació en capes permet identificar agrupaments dins de cada mapa i també entre capes. Quan dues cel·les en la mateixa posició (una per cada capa) són 1, es pot realitzar una agrupació vertical que simplifica la funció.