Problema de 5 Variables – 2 Taules de Veritat

Es demana obtenir la funció lògica en forma de suma de minterms per un sistema de 5 variables. A partir d’aquesta, es representa la taula de veritat, es dissenyen els mapes de Karnaugh i es simplifica pas a pas. A continuació, es presenten dues aproximacions:

Sense solapament vertical: Cada capa (segons el valor de E) es mostra de manera independent.
Amb solapament vertical: Es combina la informació de les dues capes en una única taula on es divideix cada cel·la per mostrar els valors per E = 0 i per E = 1, evidenciant agrupaments verticals reals.

Part 1: Sense Solapament Vertical

Pas 1: Taula de la Veritat i Funció No Simplificada

Es defineix la funció:

F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

Per E = 0 (quan A B són iguals, és a dir, 00 o 11): els minterms són m(0), m(2), m(4), m(6) i m(24), m(26), m(28), m(30).
Per E = 1 (quan A B són diferents, és a dir, 01 o 10): els minterms són m(9), m(11), m(13), m(15) i m(17), m(19), m(21), m(23).

Pas 1.1: La taula de veritat inicial separa els minterms segons el valor de E.

Pas 2: Mapes de Karnaugh Separats

Capa E = 0

En aquesta capa, F = 1 quan AB = 00 o 11.

Karnaugh per E = 0
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	1	1	1	1
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	0	0	0	0

Pas 2.1: Aquest mapa mostra el patró de 1 per E = 0 de manera independent.

Capa E = 1

En aquesta capa, F = 1 quan AB = 01 o 10.

Karnaugh per E = 1
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	1	1	1	1
11	0	0	0	0
10	1	1	1	1

Pas 2.2: Cada mapa de Karnaugh mostra 16 cel·les amb el seu patró propi segons el valor de E.

Pas 3: Simplificació Sense Solapament Vertical

A partir dels mapes observats:

Per E = 0: F = 1 quan AB = 00 o 11 → equivalent a A XNOR B.
Per E = 1: F = 1 quan AB = 01 o 10 → equivalent a A XOR B.

La funció global es pot expressar com:

F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B))

O, combinant els termes:

F = (A XNOR B) XOR E

Pas 3.1: Aquesta simplificació es basa en analitzar cadascuna de les capes per separat, sense considerar agrupaments verticals.

Part 2: Amb Solapament Vertical

En aquesta aproximació, es combina la informació de les dues capes en una única taula de veritat (o mapa de Karnaugh combinat) que mostra, per cada posició, el valor de F per E = 0 (superior) i per E = 1 (inferior).

A més, es defineix una funció diferent, F₂, amb un patró que permet observar solapaments verticals reals:

Capa E = 0 per F₂:
- Per AB = 00: totes les cel·les (tots els valors de CD) són 1.
- Per AB = 01: totes les cel·les són 0.
- Per AB = 11: les cel·les per CD = 00 i 01 són 1; per CD = 11 i 10 són 0.
- Per AB = 10: totes les cel·les són 0.
Capa E = 1 per F₂:
- Per AB = 00: totes les cel·les són 1 (això es solapa amb la capa 0).
- Per AB = 01: les cel·les per CD = 00 i 01 són 0; per CD = 11 i 10 són 1.
- Per AB = 11: les cel·les per CD = 00 i 01 són 1 (solapament vertical amb la capa 0); per CD = 11 i 10 són 0.
- Per AB = 10: totes les cel·les són 1 (ara hi ha 1 en la capa 1, mentre que en la capa 0 són 0).

Pas 1 (Part 2): La taula de veritat inicial per F₂ és similar a la del mètode anterior, però els mapes per cada capa tenen el patró indicat.

Pas 2: Mapa de Karnaugh Combinat Amb Solapament Vertical per F₂

La taula combinada mostra cada cel·la dividida verticalment:

Taula de Solapament Vertical per F₂
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	1 1	1 1	1 1	1 1
01	0 0	0 0	0 1	0 1
11	1 1	1 1	0 0	0 0
10	0 1	0 1	0 1	0 1

Pas 2.1: En aquesta taula combinada, es poden identificar agrupaments verticals:

La fila AB = 00 té 1 en totes les cel·les (tant per E=0 com per E=1).
A la fila AB = 11, les columnes 00 i 01 mostren 1 en ambdós nivells.

Pas 3: Simplificació Amb Solapament Vertical per F₂

Analitzant la taula de solapament vertical per F₂, podem extreure els següents termes:

Per AB = 00: en totes les columnes, F₂ = 1 independentment de E → contribueix amb el terme A'B' (A = 0, B = 0).
Per AB = 11: a les columnes 00 i 01, amb F₂ = 1 en ambdós nivells, s'extreu el terme AB · C' (suponent que a CD = 00 i 01, C = 0).
Per AB = 01: només hi ha 1 per E = 1 en les columnes 11 i 10 → contribueix amb el terme A'B · C · E (on C = 1).
Per AB = 10: F₂ = 1 en totes les cel·les quan E = 1 (i 0 en la capa 0) → es té el terme AB' · E.

La funció final simplificada per F₂ amb solapament vertical és:

F₂ = (A'B') + (AB · C') + (A'B · C · E) + (AB' · E)

Pas 3.1: Els termes han estat extrets dels grups verticals i, per aquells casos sense solapament complet, s'ha mantingut la dependència de E.

Resum Final

Funció no simplificada:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

Funció simplificada (Sense Solapament Vertical – Part 1):
F = (A XNOR B) XOR E

Funció simplificada (Amb Solapament Vertical – Part 2, per F₂):
F₂ = (A'B') + (AB · C') + (A'B · C · E) + (AB' · E)

Com Funcionen les Capes en un Mapa de Karnaugh de 5 Variables

1. Per què es fan capes?

Un mapa de Karnaugh de 4 variables té 16 cel·les (2⁴ = 16). Amb 5 variables hi ha 32 combinacions, per això es divideix en 2 capes:

Capa 1: E = 0
Capa 2: E = 1

2. Beneficis i Agrupaments entre Capes

La separació en capes permet identificar agrupaments tant dins de cada mapa com entre capes. Quan dues cel·les en la mateixa posició (una per cada capa) són 1, es pot realitzar una agrupació vertical que simplifica la funció.