En aquest problema es demana obtenir la funció lògica en forma de suma de minterms per 5 variables A, B, C, D, E i, a partir d'això, representar-la amb una taula de veritat, dissenyar mapes de Karnaugh per a cada capa (segons el valor de E) i, finalment, simplificar-la.
La funció donada és:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)
Els minterms es distribueixen segons el valor de E i els parells AB:
E i Parells AB| E | AB | Minterms |
|---|---|---|
| 0 | 00 |
m(0), m(2), m(4), m(6) |
11 |
m(24), m(26), m(28), m(30) |
|
| 1 | 01 |
m(9), m(11), m(13), m(15) |
10 |
m(17), m(19), m(21), m(23) |
La següent taula mostra totes les 32 combinacions per a 5 variables. S'ha ressaltat amb color groc les files on F = 1.
| A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Dividim el mapa en dues capes segons el valor de E. Això ens permet mantenir la estructura d'un mapa de 4 variables (16 cel·les).
E = 0 (Cas on AB són iguals: 00 i 11)| AB | CD | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | |
| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
E = 1 (Cas on AB són diferents: 01 i 10)| AB | CD | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | |
| 00 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 01 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Aggregacions horitzontals: Dins de cada capa es poden agrupar les cel·les adjacents amb 1 per simplificar la funció.
Agrupació vertical: Si en la mateixa posició del mapa, en ambdues capes es té 1, es pot fer una agrupació vertical.
A la capa E = 0, la fila 00 té 4 valors 1 consecutius, que es poden agrupar com un sol bloc.
| AB | CD | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Considerem un cas hipotètic en què, en la mateixa posició del mapa, es tingui 1 en ambdues capes. Aquesta agrupació s'assenyala a continuació:
| AB | CD | Agrupació Vertical | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | ||
| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 en E = 0 i E = 1 |
| 01 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 11 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
Analitzant els mapes, es pot deduir:
F = 1 quan AB = 00 o 11 → Equival a A XNOR B.
F = 1 quan AB = 01 o 10 → Equival a A XOR B.
Per tant, la funció global es pot expressar com:
F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B))
Aquesta expressió també es pot reescriure de manera compacta:
F = (A XNOR B) XOR E
| Funció No Simplificada | Funció Simplificada |
|---|---|
F = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30) |
F = (A XNOR B) XOR E |
Per què es fan capes?
Un mapa de Karnaugh de 4 variables té 16 cel·les. Amb 5 variables, hi ha 32 combinacions. Per això es divideix en 2 capes:
| Capa | Condició |
|---|---|
| Capa 1 | E = 0 |
| Capa 2 | E = 1 |
Aquesta separació facilita la identificació d’agrupacions dins de cada mapa i permet fins i tot veure com, en alguns casos, es poden combinar cel·les entre capes per a una simplificació més eficaç.