Problema de 5 Variables

Enunciat: Dada una funció de 5 variables (A, B, C, D, E), s'ha de generar la funció lògica no simplificada (suma de minterms), representar-la en una taula de veritat, dissenyar els mapes de Karnaugh per a cada capa (segons el valor de E), i finalment simplificar-la pas a pas.

1. Funció i Taula de la Veritat

La funció no simplificada es defineix per minterms:

F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

Es compleix:

Per E = 0: F = 1 quan A B són 00 o 11 (minterms: 0, 2, 4, 6 i 24, 26, 28, 30).
Per E = 1: F = 1 quan A B són 01 o 10 (minterms: 9, 11, 13, 15 i 17, 19, 21, 23).

2. Mapes de Karnaugh per 5 Variables

Com un mapa de 4 variables té 16 cel·les i la funció de 5 variables en té 32, es divideix en 2 capes segons E. S'ha optat per mostrar els dos mapes en paral·lel per facilitar la comparació i l'anàlisi.

Karnaugh per E = 0

En aquesta capa, F = 1 quan AB = 00 o 11. Per tant, totes les cel·les de les files 00 i 11 estan marcades amb 1.

Karnaugh E = 0
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	1	1	1	1
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	0	0	0	0

Karnaugh per E = 1

Aquí, F = 1 quan AB = 01 o 10. Les files 01 i 10 tenen totes les cel·les a 1.

Karnaugh E = 1
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	1	1	1	1
11	0	0	0	0
10	1	1	1	1

3. Agrupament entre Capes i Simplificació

Tot i que els mapes es representen per capes (segons el valor de E), és important observar que en cada capa la funció depèn fonamentalment de la relació entre A i B:

E = 0: F = 1 quan AB = 00 o 11, és a dir, A XNOR B.
E = 1: F = 1 quan AB = 01 o 10, és a dir, A XOR B.

Aquesta observació ens permet expressar la funció global de la manera següent:

F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B))

O, de forma equivalent, combinant l'operació XOR amb E:

F = (A XNOR B) XOR E

Justificació: Quan E = 0 la sortida és A XNOR B; quan E = 1 la sortida és el complement, és a dir, A XOR B.

4. Funcionament de les Capes en un Mapa de Karnaugh de 5 Variables

Un mapa de Karnaugh per 4 variables conté 16 cel·les. Afegint una cinquena variable, el total de combinacions és de 32. Per això:

Divisió en capes: Es crea una capa per E = 0 i una altra per E = 1.
Visualització paral·lela: Mostrant els mapes en paral·lel, es facilita la comparació de les posicions. A més, quan en la mateixa posició (per exemple, fila i columna) en ambdues capes hi ha un 1, es pot considerar un agrupament vertical que ajuda en la simplificació.
Beneficis:
- Es pot observar clarament com la cinquena variable modula la sortida.
- Manté la familiaritat del mapa de 4 variables, facilitant la interpretació.
- Permet identificar agrupaments que abasten més d'una capa, optimitzant la funció.

5. Resum Final

Funció no simplificada:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

Funció simplificada:
F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B)) = (A XNOR B) XOR E