Les expedicions d'Arthur Eddington el 1919 van ser crucials per confirmar la teoria de la relativitat general d'Albert Einstein. Eddington va organitzar dues expedicions per observar l'eclipsi solar total el 29 de maig de 1919, una a l'illa de Príncipe i l'altra a Sobral, Brasil. L'objectiu era mesurar la desviació de la llum de les estrelles provocada per la gravetat del Sol. Els resultats van mostrar una desviació de 1,75 segons d'arc, en línia amb les prediccions d'Einstein, confirmant així la seva teoria.
Aquesta observació va demostrar que la gravetat afecta la llum, un concepte fonamental en la fotònica. Anys després, el 1979, es va descobrir el primer esdeveniment de lent gravitacional amb el "Einstein Cross", on dos quàsars aparentment separats per 6 segons d'arc compartien propietats similars, incloent els seus espectres i redshifts (z = 1.413). Aquesta semblança química i distància va revelar que eren imatges múltiples d'un mateix quàsar. Les observacions posteriors van identificar la lent com un petit grup de galàxies amb un redshift de z = 0.355.
El sistema, conegut com a Q0957+561, es va observar més detalladament amb el Telescopi Espacial Hubble, revelant que la font i la lent es trobaven a uns 3.7 i 8.7 mil milions d'anys llum, respectivament. Aquest descobriment va ser seguit per altres lents gravitacionals, com les quatre imatges múltiples del quàsar Q2237+0305, observades el 1985.
Les lents gravitacionals són un fenomen que es produeix quan la llum d'un objecte distant, com ara una galàxia o una estrella, es corba al voltant d'un altre objecte massiu que es troba entre l'observador i l'objecte distant. Aquest efecte és causat per la gravetat de l'objecte massiu que actua com una lent, deformant l'espai-temps i, per tant, la trajectòria de la llum.
Google Colab sobre fotònica i lents del professor
Les lents gravitacionals funcionen de manera similar a les lents òptiques, però en lloc de corbar la llum mitjançant la refracció, utilitzen la gravetat per corbar l'espai-temps. Quan la llum d'una font distant passa prop d'un objecte massiu, com ara una galàxia, la gravetat d'aquest objecte deforma l'espai-temps i corba la trajectòria de la llum. Això pot donar lloc a diverses imatges de la mateixa font, arcs de llum o fins i tot anells complets, coneguts com anells d'Einstein, si la font, la lent i l'observador estan alineats perfectament.
L'estudi de les lents gravitacionals ens permet mesurar masses de galàxies i altres objectes massius, així com investigar la distribució de la matèria fosca a l'univers, ja que aquesta també afecta la trajectòria de la llum. Les fórmules presentades aquí són fonamentals per analitzar i interpretar les observacions de lents gravitacionals en l'astronomia.
La relació entre la lent gravitatòria i la precessió del periheli de Mercuri és un fenomen fascinant en la física. La teoria de la relativitat general d'Einstein prediu que la massa del Sol distorsiona l'espai-temps al seu voltant, actuant com una lent gravitatòria que desvia la trajectòria de la llum de les estrelles properes. Aquesta distorsió gravitatòria afecta l'òrbita de Mercuri, causant una lleugera precessió en el seu periheli, el punt més proper a l'òrbita del Sol. Aquesta precessió va ser un dels primers èxits de la teoria de la relativitat i continua sent un exemple clau del seu poder predictiu en l'estudi dels objectes celestes.
Aquests càlculs mostren la determinació de l'òrbita d'un planeta utilitzant tant la mecànica clàssica com la relativitat general. Comencen amb el càlcul del radi orbital clàssic, seguit per la determinació del factor de correcció relativista per la precessió del periheli. Després, es calcula l'òrbita relativista tenint en compte aquesta correcció. Finalment, es converteix aquesta precessió en unitats d'arcsegons per segle. Els resultats mostren com les petites correccions relativistes afecten les òrbites planetàries, en particular la precessió del periheli.
La precessió del periheli és el fenomen pel qual el punt de l'òrbita d'un planeta més proper al Sol (anomenat periheli) es desplaça lentament al llarg del temps. Això significa que l'òrbita del planeta no és una el·lipse fixa, sinó que gira gradualment sobre si mateixa. Aquest efecte es deu a diverses influències, incloent-hi les interaccions gravitacionals amb altres planetes i els efectes de la relativitat general, que prediu una petita correcció addicional a la força gravitacional newtoniana. La precessió del periheli de Mercuri va ser una de les primeres proves observacionals que van confirmar la teoria de la relativitat general d'Einstein.
$$r = a \cdot (1 - e^2) / (1 + e \cdot \cos(\theta))$$ on:
$$\Delta\phi = \frac{6 \cdot \pi \cdot G \cdot M_{\text{sol}}}{a \cdot c^2 \cdot (1 - e^2)}$$ on:
$$\phi_{\text{rel}} = \phi + \Delta\phi \cdot t / \text{període}$$ on:
$$\Delta\phi_{\text{arcsec}} = \Delta\phi \cdot \frac{180}{\pi} \cdot 3600$$ $$\Delta\phi_{\text{arcsec}} \approx 5.018 \times 10^{-7} \text{ rad/òrbita} \cdot \frac{180}{\pi} \cdot 3600$$ $$\Delta\phi_{\text{arcsec}} \approx 43.63 \text{ arcsec/sigl}$$
import numpy as np # Importa el paquet numpy per a operacions matemàtiques amb arrays
import matplotlib.pyplot as plt # Importa el paquet matplotlib per a visualització de gràfics
# Constants
G = 6.67430e-11 # Constant de gravitació universal (m^3 kg^-1 s^-2)
c = 2.998e8 # Velocitat de la llum (m/s)
M_sun = 1.989e30 # Massa del Sol (kg)
AU = 1.496e11 # Unitat Astronòmica (m)
# Paràmetres per a Mercuri
a = 0.387 * AU # Semieix major de l'òrbita (m)
e = 0.2056 # Excentricitat
period = 87.9691 * 24 * 3600 # Període orbital (s)
# Paràmetres de la simulació
num_orbits = 100 # Nombre d'òrbites a simular
num_points_per_orbit = 1000 # Nombre de punts per òrbita
total_points = num_orbits * num_points_per_orbit # Total de punts en la simulació
time_step = period / num_points_per_orbit # Pas de temps per cada punt
# Òrbita clàssica
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi * num_orbits, total_points) # Angle theta dividit uniformement
r_classical = a * (1 - e**2) / (1 + e * np.cos(theta)) # Radi de l'òrbita clàssica
# Factor de correcció relativista
def relativistic_correction(): # Funció per calcular la correcció relativista
return (6 * np.pi * G * M_sun) / (a * c**2 * (1 - e**2)) # Fórmula de la correcció
# Simula l'òrbita amb efectes relativistes
r_relativistic = [] # Llista per emmagatzemar els radis de l'òrbita relativista
phi_rel = 0 # Inicialitza l'angle phi relativista
phis = [] # Llista per emmagatzemar els angles phi relativistes
rel_corr = relativistic_correction() # Calcula la correcció relativista
for t in range(total_points): # Itera sobre cada punt en la simulació
delta_phi = 2 * np.pi / num_points_per_orbit # Increment de l'angle phi per cada punt
phi_rel += delta_phi + rel_corr * time_step / period # Actualitza l'angle phi relativista
r = a * (1 - e**2) / (1 + e * np.cos(phi_rel)) # Calcula el radi de l'òrbita relativista
r_relativistic.append(r) # Afegeix el radi a la llista
phis.append(phi_rel) # Afegeix l'angle phi a la llista
r_relativistic = np.array(r_relativistic) # Converteix la llista a un array de numpy
# Converteix a coordenades cartesianes
x_classical = r_classical * np.cos(theta) # Coordenada x de l'òrbita clàssica
y_classical = r_classical * np.sin(theta) # Coordenada y de l'òrbita clàssica
x_relativistic = r_relativistic * np.cos(np.array(phis)) # Coordenada x de l'òrbita relativista
y_relativistic = r_relativistic * np.sin(np.array(phis)) # Coordenada y de l'òrbita relativista
# Calcula les posicions del periheli per cada òrbita
perihelion_angles_classical = [] # Llista per emmagatzemar els angles del periheli clàssic
perihelion_angles_relativistic = [] # Llista per emmagatzemar els angles del periheli relativista
for i in range(num_orbits): # Itera sobre cada òrbita
idx_classical = np.argmin(r_classical[i*num_points_per_orbit:(i+1)*num_points_per_orbit]) # Índex del periheli clàssic
idx_relativistic = np.argmin(r_relativistic[i*num_points_per_orbit:(i+1)*num_points_per_orbit]) # Índex del periheli relativista
perihelion_angles_classical.append(theta[idx_classical + i*num_points_per_orbit]) # Afegeix l'angle del periheli clàssic
perihelion_angles_relativistic.append(phis[idx_relativistic + i*num_points_per_orbit]) # Afegeix l'angle del periheli relativista
# Converteix els angles a graus
perihelion_angles_classical = np.array(perihelion_angles_classical) * 180 / np.pi # Converteix angles clàssics a graus
perihelion_angles_relativistic = np.array(perihelion_angles_relativistic) * 180 / np.pi # Converteix angles relativistes a graus
# Calcula el canvi mitjà en l'angle del periheli per òrbita i el canvi total
delta_perihelion_per_orbit = np.mean(perihelion_angles_relativistic - perihelion_angles_classical) # Canvi mitjà per òrbita
total_delta_perihelion = delta_perihelion_per_orbit * num_orbits # Canvi total després de totes les òrbites
print(f"Average change in perihelion angle per orbit: {delta_perihelion_per_orbit:.10f} degrees") # Imprimeix el canvi mitjà
print(f"Total change in perihelion angle after {num_orbits} orbits: {total_delta_perihelion:.10f} degrees") # Imprimeix el canvi total
# Traça les òrbites
plt.figure(figsize=(10, 5)) # Crea una figura amb dues subtrames
plt.subplot(1, 2, 1) # Primera subtrama
plt.plot(x_classical / AU, y_classical / AU, label='Classical Orbit') # Traça l'òrbita clàssica
plt.xlabel('x (AU)') # Etiqueta de l'eix x
plt.ylabel('y (AU)') # Etiqueta de l'eix y
plt.title('Classical Orbit of Mercury') # Títol de la gràfica
plt.legend() # Afegeix la llegenda
plt.subplot(1, 2, 2) # Segona subtrama
plt.plot(x_relativistic / AU, y_relativistic / AU, label='Relativistic Orbit') # Traça l'òrbita relativista
plt.xlabel('x (AU)') # Etiqueta de l'eix x
plt.ylabel('y (AU)') # Etiqueta de l'eix y
plt.title('Relativistic Orbit of Mercury') # Títol de la gràfica
plt.legend() # Afegeix la llegenda
plt.tight_layout() # Ajusta l'espai entre les subtrames
plt.show() # Mostra la figura
# Traça la precessió del periheli
plt.figure(figsize=(10, 5)) # Crea una figura
plt.plot(perihelion_angles_classical, label='Classical Perihelion') # Traça els angles del periheli clàssic
plt.plot(perihelion_angles_relativistic, label='Relativistic Perihelion') # Traça els angles del periheli relativista
plt.xlabel('Orbit Number') # Etiqueta de l'eix x
plt.ylabel('Perihelion Angle (degrees)') # Etiqueta de l'eix y
plt.title('Perihelion Precession of Mercury') # Títol de la gràfica
plt.legend() # Afegeix la llegenda
plt.show() # Mostra la figura
# Calcula la correcció relativista a la precessió del periheli
relativistic_correction = (6 * np.pi * G * M_sun) / (a * c**2 * (1 - e**2)) # Fórmula de la correcció
print(f"Relativistic correction to perihelion precession: {relativistic_correction:.10f} radians/orbit") # Imprimeix la correcció
# Converteix a segons d'arc per segle
relativistic_correction_arcsec = relativistic_correction * 180 / np.pi * 3600 # Conversió a segons d'arc per segle
print(f"Relativistic correction to perihelion precession: {relativistic_correction_arcsec:.10f} arcseconds/century") # Imprimeix la correcció en segons d'arc
# Fórmules matemàtiques i càlcul pas a pas
# 1. Òrbita clàssica:
# r = a * (1 - e^2) / (1 + e * cos(theta))
print("Classical orbit:") # Imprimeix la fórmula de l'òrbita clàssica
print("r = a * (1 - e^2) / (1 + e * cos(theta))") # Fórmula de l'òrbita clàssica
print("where:") # Explica els termes de la fórmula
print("a = semi-major axis") # Semieix major
print("e = eccentricity") # Excentricitat
print("theta = angular position") # Posició angular
# 2. Factor de correcció relativista:
# Δφ = (6 * π * G * M_sun) / (a * c^2 * (1 - e^2))
print("\nRelativistic correction factor:") # Imprimeix la fórmula de la correcció relativista
print("Δφ = (6 * π * G * M_sun) / (a * c^2 * (1 - e^2))") # Fórmula de la correcció relativista
print("where:") # Explica els termes de la fórmula
print("G = gravitational constant") # Constant de gravitació universal
print("M_sun = mass of the Sun") # Massa del Sol
print("a = semi-major axis") # Semieix major
print("c = speed of light") # Velocitat de la llum
print("e = eccentricity") # Excentricitat
# 3. Òrbita relativista:
# r = a * (1 - e^2) / (1 + e * cos(phi_rel))
# phi_rel = phi + Δφ * t / period
print("\nRelativistic orbit:") # Imprimeix la fórmula de l'òrbita relativista
print("r = a * (1 - e^2) / (1 + e * cos(phi_rel))") # Fórmula de l'òrbita relativista
print("phi_rel = phi + Δφ * t / period") # Fórmula per calcular l'angle relativista
print("where:") # Explica els termes de la fórmula
print("phi = angular position") # Posició angular
print("Δφ = relativistic correction factor") # Factor de correcció relativista
print("t = time") # Temps
print("period = orbital period") # Període orbital
# 4. Precessió del periheli:
# Δφ = (6 * π * G * M_sun) / (a * c^2 * (1 - e^2))
print("\nPerihelion precession:") # Imprimeix la fórmula de la precessió del periheli
print("Δφ = (6 * π * G * M_sun) / (a * c^2 * (1 - e^2))") # Fórmula de la precessió del periheli
print("where:") # Explica els termes de la fórmula
print("G = gravitational constant") # Constant de gravitació universal
print("M_sun = mass of the Sun") # Massa del Sol
print("a = semi-major axis") # Semieix major
print("c = speed of light") # Velocitat de la llum
print("e = eccentricity") # Excentricitat
# 5. Conversió a segons d'arc per segle:
# Δφ_arcsec = Δφ * 180 / π * 3600
print("\nConversion to arcseconds per century:") # Imprimeix la fórmula de conversió
print("Δφ_arcsec = Δφ * 180 / π * 3600") # Fórmula de conversió a segons d'arc per segle
print("where:") # Explica els termes de la fórmula
print("Δφ = relativistic correction factor") # Factor de correcció relativista
print("π = mathematical constant") # Constant matemàtica
print("3600 = conversion factor") # Factor de conversió
Un anell d'Einstein és un fenomen astronòmic que es produeix quan la llum d'un objecte distant, com ara una galàxia o una estrella, es corba al voltant d'un altre objecte massiu que es troba entre l'observador i l'objecte distant. Aquest efecte és causat per la gravetat de l'objecte massiu que actua com una lent, deformant l'espai-temps i, per tant, la trajectòria de la llum.
La fórmula de l'anell d'Einstein es deriva de la teoria de la relativitat general d'Albert Einstein i es pot expressar com:
$$ \theta_E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2} \cdot \frac{D_{LS}}{D_L D_S}} $$
On:
$$ \alpha = \frac{4GM}{c^2 b} $$
On \( b \) és el radi del feix de llum en el punt de màxima aproximació a la lent.La desviació de la llum per un objecte massiu es pot descriure mitjançant la teoria de la relativitat general. A continuació, deduïm l'equació de la desviació de la llum pas a pas.
$$ F = \frac{GMm}{r^2} $$
On \( G \) és la constant de gravitació universal i \( m \) és la massa del foton.$$ \alpha = \frac{4GM}{c^2 b} $$
On:Aquesta deducció proporciona una base per comprendre com la llum es desvia quan passa prop d'un objecte massiu, i és fonamental per la formació dels anells d'Einstein en l'astronomia.
$$ \theta_E = \frac{D_{LS}}{D_S} \alpha $$
$$ \theta_E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2} \cdot \frac{D_{LS}}{D_L D_S}} $$
Aquesta fórmula ens diu que el radi angular de l'anell d'Einstein depèn directament de la massa de l'objecte massiu (més massa significa un anell més gran) i de les distàncies relatives entre la font, la lent i l'observador. En la pràctica, l'observació d'anells d'Einstein ens permet mesurar la massa de galàxies i altres objectes massius que actuen com a lents, així com estudiar la distribució de la matèria fosca en l'univers.
H0LiCOW (H0 Lenses in COSMOGRAIL's Wellspring) és un projecte de recerca que utilitza sistemes de lents gravitacionals per mesurar la constant de Hubble (H0), que determina la velocitat a la qual l'univers s'està expandint.
Aquest projecte es basa en l'observació de galàxies llunyanes les imatges de les quals són distorsionades per la gravetat d'una galàxia massiva que hi ha entre elles i la Terra, creant múltiples imatges de la mateixa galàxia llunyana. En mesurar el temps que la llum triga a arribar a la Terra per cada camí diferent (retard temporal), els científics poden calcular les distàncies entre aquestes galàxies i, finalment, determinar la constant de Hubble amb gran precisió.
H0LiCOW combina observacions de telescopis amb anàlisis teòriques avançades per obtenir aquestes mesures, contribuint de manera significativa a la nostra comprensió de l'expansió de l'univers.
Per a més informació sobre els productes de dades de H0LiCOW, pots visitar la seva pàgina oficial de dades. També pots accedir al codi de Python per a la inferència de H0 al seu repositori de GitHub.
Les supernoves, especialment les de tipus Ia, són essencials per determinar la constant de Hubble (H0) perquè actuen com a "candeles estàndard" amb una lluminositat intrínseca coneguda. Això permet als astrònoms calcular la distància a la supernova mesurant la seva lluminositat aparent. Combinant aquesta distància amb el desplaçament cap al vermell (redshift) de la supernova, que indica la velocitat a la qual s'allunya de nosaltres, es pot determinar H0, que descriu la taxa d'expansió de l'univers.
La supernova Refsdal és d'interès particular perquè és una de les primeres supernoves observades passant per una lent gravitacional. Aquesta situació permet obtenir mesures molt precises del retard temporal, que és el temps diferent que triga la llum de la supernova a arribar a la Terra per diferents camins causats per la distorsió de la lent gravitatòria. Aquestes mesures ajuden a calcular H0 de manera molt precisa i independent del model cosmològic, aportant noves dades per entendre millor l'expansió de l'univers.
La constant de Hubble (H0) és una mesura de la velocitat d'expansió de l'univers. Es defineix com la velocitat a la qual una galàxia s'allunya de nosaltres per unitat de distància. Això vol dir que una galàxia situada el doble de lluny s'allunya el doble de ràpid. El valor aproximat de H0 està al voltant de 70 km/s/Mpc (quilòmetres per segon per megaparsec), tot i que hi ha algunes variacions en les mesures depenent del mètode utilitzat.
Diversos mètodes s'utilitzen per determinar la constant de Hubble, incloent les observacions de supernoves de tipus Ia, les oscil·lacions acústiques bariòniques (BAO), les mesures del fons còsmic de microones (CMB) i les lents gravitacionals. Cada mètode té els seus avantatges i incerteses. Per exemple, les supernoves de tipus Ia proporcionen mesures directes de distàncies, mentre que el CMB ofereix informació sobre l'univers primitiu. Les lents gravitacionals, com en el cas de la supernova Refsdal, permeten calcular el retard temporal per obtenir H0. Sovint, es combinen resultats de diferents mètodes per obtenir una estimació més precisa i robusta de la constant de Hubble.