La tensió instantània és
\[v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi_s),\qquad \omega=2\pi f.\]
Amb $V_m=325\,\mathrm{V}$ i $f=50\,\mathrm{Hz}$:
\[\omega=2\pi\cdot50=314.1592654\;\mathrm{rad/s},\qquad T=\frac{1}{f}=0.02\;\mathrm{s}.\]
Valor eficàcia (RMS):
\[V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}=\frac{325}{\sqrt{2}}=229.8097039\;\mathrm{V}.\]
Reactància inductiva i capacitiva:
\[X_L=\omega L,\qquad X_C=\dfrac{1}{\omega C}.\]
Substituint valors:
\[X_L=314.1592654\cdot0.1=31.41592654\;\Omega,\]
\[X_C=\dfrac{1}{314.1592654\cdot50\times10^{-6}}=63.66197724\;\Omega.\]
Reactància neta (sèrie):
\[X=X_L-X_C=31.41592654-63.66197724=-32.24605070\;\Omega.\]
Interpretació: $X<0$ implica comportament capacitiu (la corrent avança respecte la tensió).
La impedància en sèrie és
\[Z=R+jX=50+j(-32.24605070)\;\Omega.\]
Magnitud i argument:
\[|Z|=\sqrt{R^2+X^2}=\sqrt{50^2+(-32.24605070)^2}=59.49628380\;\Omega,\]
\[\varphi=\arg(Z)=\arctan\left(\dfrac{X}{R}\right)=\arctan\left(\dfrac{-32.24605070}{50}\right)=-0.572889\;\text{rad}=-32.818820^{\circ}.\]
\textbf{Notes conceptuals:} L'angle de la impedància indica el desfasament entre la tensió i el corrent: si $\varphi<0$ el circuit és capacitiu (corrents avançats), si $\varphi>0$ és inductiu (corrents retardats).
Fasor de tensió (RMS) i corrent:
\[\tilde{V}=V_{\mathrm{rms}}\angle\varphi_s,\qquad \tilde{I}=\dfrac{\tilde{V}}{Z}=I_{\mathrm{rms}}\angle(\varphi_s-\varphi).\]
Càlculs de magnitud:
\[I_m=\dfrac{V_m}{|Z|}=\dfrac{325}{59.49628380}=5.462526048\;\mathrm{A},\]
\[I_{\mathrm{rms}}=\dfrac{I_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{5.462526048}{\sqrt{2}}=3.862589211\;\mathrm{A}.\]
Angle del corrent (si $\varphi_s=0$):
\[\angle\tilde{I}=0^{\circ}-\varphi= -(-32.818820^{\circ})=+32.818820^{\circ}\]
(Aquesta relació prové de $\tilde{I}=\tilde{V}/|Z|\,\angle(-\varphi)$; com que $\varphi$ és negatiu aquí el resultat és positiu, la corrent està abans que la tensió.)
Forma instantània de la corrent (peak):
\[i(t)=I_m\sin(\omega t+\varphi_I)=5.4625\sin(314.1593\,t+32.8188^{\circ})\;\mathrm{A}.\]
Atès que fem servir magnituds RMS per a potències en AC:
\[|S|=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}=229.8097039\cdot3.862589211=887.5000000\;\mathrm{VA}.\]
Potència activa (real):
\[P=|S|\cos\varphi=887.5\cdot\cos(-0.572889)=887.5\cdot0.840954=746.3875\;\mathrm{W}.\]
Potència reactiva:
\[Q=|S|\sin\varphi=887.5\cdot\sin(-0.572889)=887.5\cdot(-0.541088)= -480.6875\;\mathrm{var}.\]
Factor de potència:
\[\mathrm{pf}=\cos\varphi=0.840954\quad(\text{capacitatiu perquè }Q<0).\]
Interpretació: |S| és la potència aparent (VA), P és la potència real consumida pel circuit (W), Q indica la potència intercanviada amb elements reactius (var). Q negatiu indica potència reactiva capacitiva (la font entrega potència reactiva a l'inductor/capacitor en un sentit determinat).
| Quantitat | Valor |
|---|---|
| $V_m$ | $325\;\mathrm{V}$ |
| $V_{\mathrm{rms}}$ | $229.8097\;\mathrm{V}$ |
| $f$, $T$ | $50\;\mathrm{Hz}$, $0.02\;\mathrm{s}$ |
| $X_L$, $X_C$, $X$ | $31.4159\;\Omega$, $63.6620\;\Omega$, $-32.2461\;\Omega$ |
| $|Z|$, $\varphi$ | $59.4963\;\Omega$, $-32.8188^{\circ}$ |
| $I_m$, $I_{\mathrm{rms}}$ | $5.4625\;\mathrm{A}$, $3.8626\;\mathrm{A}$ |
| $|S|$, $P$, $Q$ | $887.5\;\mathrm{VA}$, $746.3875\;\mathrm{W}$, $-480.6875\;\mathrm{var}$ |
| Factor de potència | $0.840954\;\text{(capacitatiu)}$ |