Enunciat

Un cotxe amb massa \(m=70\,\mathrm{kg}\) puja per un pla inclinat amb angle \(\alpha=7^\circ\) a una velocitat constant \(v=2{,}2\,\mathrm{m/s}\). La roda motriu té radi \(R=0{,}07\,\mathrm{m}\), el motor té un rendiment \(\eta=0{,}85\), el coeficient de fricció roda-plà té valor \(\mu=0{,}05\) i la relació de transmissió és \(1:1\). La bateria subministra una tensió de \(24\,\mathrm{V}\). Negliga pèrdues aerodinàmiques i altres.

Solució pas a pas

1. Càlcul del pes \(P=mg\): \[P = m\,g = 70 \times 9.81 = 686{,}7\,\mathrm{N}.\]
2. Component gravitatòria paral·lela al pla inclinat: \[P_{\parallel} = P\sin\alpha = 686.7 \times \sin(7^\circ) \approx 83{,}7\,\mathrm{N}.\]
3. Força normal i força de fricció: \[ N = P\cos\alpha = 686.7 \times \cos(7^\circ) \approx 681{,}9\,\mathrm{N}, \qquad F_{\mathrm{fric}} = \mu\,N = 0.05 \times 681.9 \approx 34{,}1\,\mathrm{N}. \]
4. Força neta que ha de vèncer el motor: \[ F_{\mathrm{net}} = P_{\parallel} + F_{\mathrm{fric}} = 83.7 + 34.1 = 117{,}8\,\mathrm{N}. \]
5. Velocitat angular de la roda: \[ \omega = \frac{v}{R} = \frac{2.2}{0.07} \approx 31{,}43\,\mathrm{rad/s}. \]
6. Parell motor aplicat a l’eix: \[ \Gamma = F_{\mathrm{net}}\,R = 117.8 \times 0.07 \approx 8.25\,\mathrm{N\cdot m}. \]
7. Potència mecànica requerida: \[ P_{\mathrm{mec}} = F_{\mathrm{net}}\,v = 117.8 \times 2.2 \approx 259{,}2\,\mathrm{W}. \]
8. Potència elèctrica subministrada per la bateria (rendiment \(\eta\)): \[ P_{\mathrm{elèc}} = \frac{P_{\mathrm{mec}}}{\eta} = \frac{259.2}{0.85} \approx 305{,}0\,\mathrm{W}. \]
9. Corrent de bateria necessari: \[ I = \frac{P_{\mathrm{elèc}}}{V} = \frac{305.0}{24} \approx 12{,}7\,\mathrm{A}. \]

Resum de resultats