Problema de Tensió en una Corda
Resolució completa amb el Mètode de Components i el Teorema de Lami
1️⃣ Enunciat del problema
Un automòbil amb un pes de 3500 N és descarregat d’un vaixell mitjançant
un cable. Per centrar l’automòbil sobre la seva posició final, una corda està lligada
al cable en el punt A.
- L’angle entre el cable i la vertical és de 2°.
- L’angle entre la corda i l’horitzontal és de 30°.
Es demana calcular la tensió a la corda.
2️⃣ Anàlisi física del sistema
Al punt A actuen exactament tres forces:
- Pes de l’automòbil: \( W = 3500 \,\text{N} \) (vertical cap avall)
- Tensió del cable: \( T_c \)
- Tensió de la corda: \( T_r \)
L’automòbil està en repòs, per tant el sistema està en
equilibri estàtic:
\[
\sum \vec{F} = 0
\]
MÈTODE 1: MÈTODE DE COMPONENTS
3️⃣ Sistema de coordenades
Escollim:
- Eix x: horitzontal (positiu cap a la dreta)
- Eix y: vertical (positiu cap amunt)
Aquest pas és fonamental perquè totes les components es calculin
amb criteri coherent.
4️⃣ Descomposició de les forces
🔹 Pes \(W\)
- Component horitzontal: \( 0 \)
- Component vertical: \( -3500 \,\text{N} \)
🔹 Tensió del cable \(T_c\)
El cable forma 2° amb la vertical:
- Component horitzontal: \( -T_c \sin(2^\circ) \)
- Component vertical: \( T_c \cos(2^\circ) \)
🔹 Tensió de la corda \(T_r\)
La corda forma 30° amb l’horitzontal:
- Component horitzontal: \( T_r \cos(30^\circ) \)
- Component vertical: \( T_r \sin(30^\circ) \)
5️⃣ Equacions d’equilibri
Equilibri horitzontal
\[
-T_c \sin(2^\circ) + T_r \cos(30^\circ) = 0
\]
Equilibri vertical
\[
T_c \cos(2^\circ) + T_r \sin(30^\circ) - 3500 = 0
\]
6️⃣ Resolució matemàtica
De l’equació horitzontal:
\[
T_r = \frac{T_c \sin(2^\circ)}{\cos(30^\circ)}
\]
Substituïm a l’equació vertical:
\[
T_c \cos(2^\circ) + T_c \sin(2^\circ)\tan(30^\circ) = 3500
\]
\[
T_c = \frac{3500}{\cos(2^\circ) + \sin(2^\circ)\tan(30^\circ)}
\]
Numèricament:
\[
T_c \approx 3433 \,\text{N}
\]
\[
T_r \approx 138 \,\text{N}
\]
Aquest mètode és molt sensible a:
- angles petits (2°)
- arrodoniments trigonomètrics
MÈTODE 2: TEOREMA DE LAMI
7️⃣ Quan es pot aplicar Lami?
Tres forces concurrents + equilibri ⇒
Teorema de Lami aplicable
\[
\frac{F_1}{\sin(\alpha_1)} =
\frac{F_2}{\sin(\alpha_2)} =
\frac{F_3}{\sin(\alpha_3)}
\]
⚠️ Els angles \( \alpha \) són els angles entre les forces, no respecte
als eixos.
8️⃣ Càlcul dels angles entre forces
Angle corda – pes
\[
\angle(T_r,W) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
\]
Angle cable – pes
\[
\angle(T_c,W) = 180^\circ - 2^\circ = 178^\circ
\]
Angle cable – corda
\[
\angle(T_c,T_r) = 118^\circ
\]
9️⃣ Aplicació del teorema de Lami
\[
\frac{T_r}{\sin(178^\circ)} =
\frac{3500}{\sin(118^\circ)}
\]
\[
T_r = 3500 \cdot \frac{\sin(178^\circ)}{\sin(118^\circ)}
\]
Càlcul numèric
\[
T_r \approx 144 \,\text{N}
\]
🔟 Comparació final
- Mètode de components: \( \boxed{138 \,\text{N}} \)
- Teorema de Lami: \( \boxed{144 \,\text{N}} \)
El resultat amb Lami és més fiable perquè:
- evita projeccions
- usa directament els angles entre forces
- redueix l’error per angles petits
El teorema de Lami dona un valor de tensió lleugerament més gran perquè treballa directament amb els angles reals entre les forces, sense necessitat de descompondre-les en components horitzontals i verticals. En aquest problema apareix un angle molt petit (2°), i quan s’utilitza el mètode de components, petites aproximacions trigonomètriques —com considerar que cos(2°) és pràcticament igual a 1— introdueixen errors que tendeixen a subestimar la força de la corda. El teorema de Lami evita aquestes aproximacions, ja que relaciona les forces mitjançant els sinus dels angles entre elles, fet que fa el càlcul més robust i explica que el valor obtingut amb Lami sigui una mica més gran.
✅ Conclusió
\[
\boxed{T_r \approx 144 \,\text{N}}
\]