Central hidroelèctrica — Solució pas a pas

Enunciat resumit (PAU Tecnologia i Enginyeria 2025 – Exercici 2):

La central hidroelèctrica de Tavascan Superior té un salt d’aigua de
\(h = 882\ \text{m}\) i un cabal total de \(q = 14\ \text{m}^3/\text{s}\).
Cada turbina subministra \(P_{subm} = 57\ \text{MW}\).
L’any 2024 va produir una energia total \(E_{anual} = 190{,}4\times10^3\ \text{MWh}\).
El consum anual d’un habitatge és \(E_{cons} = 3{,}4\times10^3\ \text{kWh}\).

Cal determinar:

  1. La potència teòrica que es pot obtenir amb el salt d’aigua, \(P_{aigua}\).
  2. El rendiment de la central, \(\eta\).
  3. Les hores de funcionament durant el 2024, \(t\).
  4. El nombre d’habitatges que es podrien abastir, \(n\).

1️⃣ Potència teòrica del salt d’aigua \(P_{aigua}\)

La potència que es pot obtenir d’un salt d’aigua ve donada per:

\[ P_{aigua} = \rho \, g \, q \, h \]

On:

Substituïm:

\[ P_{aigua} = 1000 \times 9{,}81 \times 14 \times 882 \] 
P_aigua = 1000 × 9.81 × 14 × 882 = 120,999,480 W = 121.0 MW (aprox.)

Resultat: \(P_{aigua} \approx 121{,}1\ \text{MW}\).

💡 Aquesta és la potència màxima teòrica disponible amb el cabal i el desnivell indicats.

2️⃣ Rendiment de la central \(\eta\)

La potència elèctrica real subministrada per les dues turbines és:

\[ P_{real} = 2\times P_{subm} = 2\times 57 = 114\ \text{MW} \]

El rendiment és la relació entre la potència real i la teòrica:

\[ \eta = \frac{P_{real}}{P_{aigua}} = \frac{114}{121{,}1} \] 
η = 114 / 121.1 = 0.9414 = 94.14 %

Resultat: \(\eta = 94{,}14\%\).

⚙️ Comentari: Un rendiment d’un 94 % és molt alt, però raonable en grans centrals hidroelèctriques modernes, on les turbines i generadors són molt eficients.

3️⃣ Hores de funcionament anual \(t\)

La relació entre energia, potència i temps és:

\[ E_{anual} = P_{real}\, t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{E_{anual}}{P_{real}} \]

Substituïm les dades: \(E_{anual} = 190{,}4\times10^3\ \text{MWh}\), \(P_{real}=114\ \text{MW}\).

\[ t = \frac{190{,}4\times10^3}{114} = 1671{,}05\ \text{h} \]

Resultat: \(t \approx 1671\ \text{h}\)

⏱️ Això equival a unes 70 dies funcionant a ple rendiment.

4️⃣ Nombre d’habitatges abastits \(n\)

Sabem:

Per tant:

\[ n = \frac{E_{anual}}{E_{cons}} = \frac{190{,}4\times10^6}{3{,}4\times10^3} \] 
n = (190.4 × 10⁶) / (3.4 × 10³) = 56.000 habitatges

Resultat: \(n \approx 56.000\) habitatges.

Resum de resultats finals

MagnitudSímbolResultat
Potència teòrica del salt\(P_{aigua}\)121,1 MW
Potència real subministrada\(P_{real}\)114 MW
Rendiment\(\eta\)94,14 %
Temps de funcionament\(t\)1.671 h
Habitatges abastits\(n\)≈ 56.000

Comentaris finals per a estudiants