Problema d'Estàtica: Equilibri i Bolcada
Aquest document resol pas a pas el problema de la grua, calculant les reaccions als suports i l'angle màxim abans de bolcar.
1. Extracció de Dades i Geometria
Dades físiques:
- Massa de la Grua: $m_G = 18.000 \, \text{kg}$ (Actua a $G_1$).
- Massa de la Càrrega: $m_L = 2.500 \, \text{kg}$ (Penja de l'extrem).
- Gravetat: $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$.
Dades geomètriques (Distàncies horitzontals):
Definim l'origen $x=0$ a la frontissa (pivot) de la ploma.
- Posició del suport posterior ($A$): $x_A = -2 \, \text{m}$.
- Posició del centre de massa ($G_1$): $x_{G1} = 1 \, \text{m}$.
- Posició del suport davanter ($B$): $x_B = 2 \, \text{m}$ (ja que està a 1m de $G_1$).
- Longitud total de la ploma ($L$): $6,25 + 6 = 12,25 \, \text{m}$.
- Posició horitzontal de la càrrega: $x_L = L \cdot \sin(\theta)$.
2. Càlcul de Pesos
Primer convertim les masses a forces (Pes $W = m \cdot g$):
$$ W_G = 18.000 \cdot 9,81 = 176.580 \, \text{N} $$
$$ W_L = 2.500 \cdot 9,81 = 24.525 \, \text{N} $$
3. Equacions d'Equilibri
Perquè la grua no es mogui, necessitem que la suma de moments sigui zero. Triem el punt B (suport davanter) com a pivot per calcular moments, ja que és el punt sobre el qual la grua bascularia si bolqués.
La distància de cada força al punt $B$ (situat a $x=2$) és:
- Distància de $A$ a $B$: $d_A = 2 - (-2) = 4 \, \text{m}$.
- Distància de $G_1$ a $B$: $d_G = 2 - 1 = 1 \, \text{m}$.
- Distància de la Càrrega a $B$: $d_L = (12,25 \sin\theta) - 2$.
Equació de Moments a B ($\sum M_B = 0$):
Considerem sentit anti-horari positiu ($+$):
$$ \underbrace{(W_G \cdot 1)}_{\text{Pes Grua (antihorari +)}} - \underbrace{(R_A \cdot 4)}_{\text{Reacció A (horari -)}} - \underbrace{(W_L \cdot d_L)}_{\text{Càrrega (horari -)}} = 0 $$
Substituïm $d_L$:
$$ W_G \cdot 1 - 4 R_A - W_L(12,25 \sin\theta - 2) = 0 $$
4. Resolució per a la Reacció A ($R_A$)
Aïllem $R_A$ en funció de l'angle $\theta$:
$$ 4 R_A = W_G - W_L(12,25 \sin\theta - 2) $$
$$ R_A(\theta) = \frac{176.580 - 24.525(12,25 \sin\theta - 2)}{4} $$
Simplificant l'equació:
$$ 4 R_A = 176.580 - 300.431 \sin\theta + 49.050 $$
$$ 4 R_A = 225.630 - 300.431 \sin\theta $$
$$ R_A(\theta) = 56.407,5 - 75.107,75 \sin\theta $$
5. Càlcul de l'Angle de Bolcada
La grua comença a bolcar quan la roda del darrere (A) deixa de tocar el terra. És a dir, quan la reacció normal és zero ($R_A = 0$).
$$ 0 = 225.630 - 300.431 \sin\theta $$
$$ \sin\theta = \frac{225.630}{300.431} \approx 0,75102 $$
Calculem l'angle invers:
$$ \theta = \arcsin(0,75102) $$
$$ \theta \approx 48,68^\circ $$
Resultat: La grua bolcarà si l'angle supera els $48,68^\circ$.
6. Gràfica de les Reaccions vs Angle
La línia Blava ($R_A$) mostra com el suport posterior perd força. Quan toca zero, la grua cau.