Resolució Didàctica: Grua Mòbil

Imagina la grua vista de costat. Hi ha un pols constant entre la gravetat (que ho vol tirar tot cap a terra) i els suports (les potes A al darrere i B al davant, que empenyen cap amunt per sostenir l'estructura).

El nostre objectiu és descobrir quanta força fa cada pota ($N_A$ i $N_B$) a mesura que movem el braç de la grua.

Pas 1: Identificar els "jugadors" (Les Forces)

Anotem primer quin pes total ha de suportar el terra. Per passar de Massa a Força (Pes), multipliquem per la gravetat ($9.81 \text{ m/s}^2$).

Pes del camió ($W_1$): $18 \times 10^3 \times 9.81 = 176\,580 \text{ N}$
Pes del braç ($W_2$): $1.8 \times 10^3 \times 9.81 = 17\,658 \text{ N}$
Pes de la càrrega ($W_L$): $1.2 \times 10^3 \times 9.81 = 11\,772 \text{ N}$

Total de forces cap avall: $176\,580 + 17\,658 + 11\,772 = \mathbf{206\,010} \textbf{ N}$

Aquest pes ha de ser contrarestat completament per les reaccions del terra cap amunt: $N_A$ (darrere) i $N_B$ (davant). Però de moment no sabem com es reparteixen aquests 206.010 N entre A i B.

Pas 2: El truc de la xinxeta (Sumatori de Moments)

Com que tenim dues incògnites ($N_A$ i $N_B$), fem servir un "truc màgic" de l'estàtica: La Suma de Moments ($+\Sigma M = 0$).

Imaginem que clavem una xinxeta exactament a sobre de la pota davantera (Punt B) per veure com rotaria la grua al seu voltant.

Com que $N_B$ està just a la xinxeta, no fa cap palanca (distància = 0). Així eliminem temporalment $N_B$ de l'equació!
Tots els pesos (camió, braç, càrrega) es troben a l'esquerra del punt B i tiren cap avall. Això faria rotar la grua en sentit antihorari (considerat positiu +).
Per evitar que la grua giri, la pota del darrere ($N_A$), que està a 4 metres a l'esquerra de B, ha d'empènyer cap amunt. Això genera una rotació horària (considerada negativa -).

L'equació es planteja equilibrant aquestes rotacions respecte a B:

$$ -N_{A} \cdot (4) + W_1 \cdot (1) + W_2 \cdot (\text{braç de palanca}_2) + W_L \cdot (\text{braç de palanca}_L) = 0 $$

Substituint els braços de palanca (que depenen de l'angle $\theta$):

$$ -4N_{A} + 176\,580(1) + 17\,658(2-6\sin\theta) + 11\,772(2-12.25\sin\theta) = 0 $$

Aïllant $N_A$ (passant el $-4N_A$ a l'altre costat i dividint entre 4), obtenim la fórmula mestra per a la pota del darrere:

$$ N_{A} = 58\,860 - 62\,539 \sin\theta \text{ (en Newtons)} $$

Pas 3: L'Equilibri Vertical (Forces amunt i avall)

Ara que ja sabem calcular $N_A$, trobar $N_B$ és bufar i fer ampolles. Recordes que en el Pas 1 hem calculat el pes total que va cap avall (206.010 N)?

La regla és senzilla: Allò que puja = Allò que baixa ($+\uparrow\Sigma F_y = 0$).

$$ N_A + N_B = \text{Pes Total} $$

$$ N_A + N_B = 206\,010 $$

Substituïm la fòrmula de $N_A$ que acabem de trobar:

$$ (58\,860 - 62\,539 \sin\theta) + N_B = 206\,010 $$

Aïllem $N_B$ passant els valors a l'altre costat:

$$ N_B = 206\,010 - 58\,860 + 62\,539 \sin\theta $$

$$ N_B = 147\,150 + 62\,539 \sin\theta \text{ (en Newtons)} $$

Física pura: Observa com el terme $62\,539 \sin\theta$ és negatiu per a $N_A$ i positiu per a $N_B$. Què vol dir això? Que a mesura que el braç baixa (el sinus augmenta), el pes es resta de la pota del darrere i se suma directament a la pota del davant!

Pas 4: Resultat Final (Cada pota individualment)

La grua no té dues potes, sinó quatre estabilitzadors (dos a A i dos a B). L'enunciat demana la reacció de "cada un dels quatre".

Només hem de dividir els totals que hem trobat per 2 i, per deixar-ho més maco, ho passem a quilonewtons (kN) dividint per 1000:

Cada estabilitzador del darrere ($A$): $$ N_{A}^{\prime}=\frac{N_{A}}{2}=(29.4-31.3 \sin \theta) \text{ kN} $$
Cada estabilitzador del davant ($B$): $$ N_{B}^{\prime}=\frac{N_{B}}{2}=(73.6+31.3 \sin \theta) \text{ kN} $$

Pas 5: Angle crític de bolcada

La grua comença a bolcar quan la reacció de la pota del darrere desapareix:

$$ N_A = 58\,860 - 62\,539 \sin\theta $$

El punt crític es dona quan:

$$ N_A = 0 $$

Substituïm a l’expressió:

$$ 58\,860 - 62\,539 \sin\theta = 0 $$

Aïllem el sinus:

$$ \sin\theta = \frac{58\,860}{62\,539} \approx 0.941 $$

I finalment obtenim l’angle:

$$ \theta_{crit} = \arcsin(0.941) \approx \mathbf{70.3^\circ} $$

Interpretació física: quan el braç supera aquest angle, la pota A deixa de fer força i la grua comença a bolcar cap endavant.

Comprendre les forces pas a pas: L'Estàtica de la Grua

Laboratori Interactiu: Trasllat de Càrregues

Pas 1: Identificar els "jugadors" (Les Forces)

Pas 2: El truc de la xinxeta (Sumatori de Moments)

Pas 3: L'Equilibri Vertical (Forces amunt i avall)

Pas 4: Resultat Final (Cada pota individualment)

Pas 5: Angle crític de bolcada