Es vol refredar una beguda amb gel, i cal calcular la quantitat de gel necessària per aconseguir-ho. Considerarem dos casos diferents: una beguda sense alcohol (Coca-Cola) i una beguda amb 45% d'alcohol.
Suposarem que la beguda és aigua pura i que la volem refredar des de 25°C fins a 5°C. El gel s'ha de fondre a 0°C i comença a -18°C.
Dades:
En aquest cas, la beguda és una mescla de 45% d'alcohol i 55% d'aigua. La capacitat calorífica de la beguda serà una mitjana ponderada tenint en compte les propietats de l'aigua i l'alcohol.
Dades:
Per a ambdós casos, cal calcular la quantitat de gel necessària per refredar la beguda des de 25°C fins a 5°C. Per això, caldrà resoldre els següents passos:
Resol les equacions per trobar la massa de gel necessària en cada cas.
Afegint el terme d'escalfament del gel:
Energia a dissipar per la beguda:
\[ Q_{\text{beguda}} = m_{\text{beguda}} \cdot c_{\text{beguda}} \cdot \Delta T \] On: - \(m_{\text{beguda}} = 0.33\,\text{kg}\) - \(c_{\text{beguda}} = 4186\,\text{J/kg·°C}\) (capacitat calorífica de l'aigua) - \(\Delta T = 25\,°C - 5\,°C = 20\,°C\) \[ Q_{\text{beguda}} = 0.33\,\text{kg} \cdot 4186\,\text{J/kg·°C} \cdot 20\,°C = 27628.8 \, \text{J} \]Energia absorbida pel gel:
\[ Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot c_{\text{gel}} \cdot \Delta T_{\text{gel}} + m_{\text{gel}} \cdot L_f + m_{\text{gel}} \cdot c_{\text{aigua}} \cdot \Delta T_{\text{aigua}} \] On: - \(c_{\text{gel}} = 2090\,\text{J/kg·°C}\) (capacitat calorífica del gel) - \(\Delta T_{\text{gel}} = 0\,°C - (-18\,°C) = 18\,°C\) - \(L_f = 334000\,\text{J/kg}\) (calor latent de fusió de l'aigua) - \(c_{\text{aigua}} = 4186\,\text{J/kg·°C}\) - \(\Delta T_{\text{aigua}} = 5\,°C - 0\,°C = 5\,°C\) Substituint: \[ Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot (2090\,\text{J/kg·°C} \cdot 18\,°C + 334000\,\text{J/kg} + 4186\,\text{J/kg·°C} \cdot 5\,°C) \] \[ Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot (37620\,\text{J/kg} + 334000\,\text{J/kg} + 20930\,\text{J/kg}) \] \[ Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot 392550\,\text{J/kg} \]Equilibri tèrmic:
\[ Q_{\text{beguda}} = Q_{\text{gel}} \] Resolent per \(m_{\text{gel}}\): \[ m_{\text{gel}} = \frac{27628.8\,\text{J}}{392550\,\text{J/kg}} \approx 0.0704 \, \text{kg} = 70.4 \, \text{g} \]1. Energia total disponible amb 2 glaçons:
\[ Q_{\text{gel total}} = 2 \times 0.055\,\text{kg} \times 392550\,\text{J/kg} = 43260.5\,\text{J} \]2. Energia necessària per refredar la beguda alcohòlica:
- Massa de la beguda: \( m_{\text{beguda}} = 0.2987 \, \text{kg} \) - Capacitat calorífica de la beguda: \( c_{\text{mixt}} = 3402 \, \text{J/kg·°C} \) - Canvi de temperatura: \( \Delta T = 25 - 5 = 20 \, °C \) \[ Q_{\text{beguda}} = 0.2987 \times 3402 \times 20 = 20306.3 \, \text{J} \]3. Massa de gel que no es fon:
Energia sobrant del gel: \[ Q_{\text{restant}} = Q_{\text{gel total}} - Q_{\text{beguda}} \] \[ Q_{\text{restant}} = 43260.5 - 20306.3 = 22954.2 \, \text{J} \] Massa de gel que no es fon: \[ m_{\text{gel no fos}} = \frac{Q_{\text{restant}}}{L_f} = \frac{22954.2}{334000} \approx 0.0687 \, \text{kg} = 68.7 \, \text{g} \]4. Durada del gel no fos:
Si assumim una taxa de fusió deguda a la temperatura ambient, per exemple, a 5 W (5 J/s): \[ \text{Temps} = \frac{Q_{\text{restant}}}{5 \, \text{J/s}} = \frac{22954.2}{5} = 4590.84 \, \text{segons} \approx 1.28 \, \text{hores} \]