Excavadora — Resolució Pas a Pas de Forces i Pressions
📘 Enunciat
L’excavadora aplica una força horitzontal de 20 kN al sòl.
Hi ha:
- dos cilindres hidràulics AC que controlen el braç OAB
- un cilindre hidràulic DE que controla el braç EBIF
Es desprecien els pesos propis dels elements davant l’efecte de la força de 20 kN.
(a) Força al cilindre AC i pressió \(p_{AC}\) (diàmetre 95 mm).
(b) Força al cilindre DE i pressió \(p_{DE}\) (diàmetre 105 mm).
🧠 1. Modelització i sistema de coordenades
Adoptem un sistema de coordenades pla:
- Origen al punt O
- Eix \(x\): horitzontal positiu cap a la dreta
- Eix \(y\): vertical positiu cap amunt
A partir del dibuix:
- \(OA = 1.4\,\text{m}\)
- \(AD = 0.9\,\text{m}\)
- \(DE = 2.1\,\text{m}\)
- Alçada del punt de contacte amb el sòl: \(3.5\,\text{m}\)
🧠 2. Anàlisi del braç EBIF (cilindre DE)
Considerem l’equilibri del conjunt inferior, prenent moments respecte del punt E.
\[
\sum M_E = 0
\]
Moment causat per la força del sòl:
\[
M_E = 20\,000 \cdot 3.5 = 70\,000\;\text{N·m}
\]
Braç del cilindre DE respecte E:
\[
d_{DE} = 2.1\sin(12^\circ) \approx 0.44\,\text{m}
\]
Equilibri de moments:
\[
F_{DE} \cdot 0.44 = 70\,000
\Rightarrow
F_{DE} = \boxed{159\,000\;\text{N}}
\]
🧠 3. Anàlisi del braç OAB (cilindre AC)
El cilindre AC equilibra el moment produït pel cilindre DE respecte d’O.
Braç perpendicular del cilindre AC:
\[
d_{AC} = 0.55\sin(35^\circ) \approx 0.316\,\text{m}
\]
Moment produït pel cilindre DE:
\[
M_O = F_{DE}\cdot 1.4 = 159\,000 \cdot 1.4 = 222\,600\;\text{N·m}
\]
Equilibri:
\[
F_{AC}\cdot 0.316 = 222\,600
\Rightarrow
F_{AC} = \boxed{704\,000\;\text{N}}
\]
⚠️ Hi ha dos cilindres AC, per tant:
\[
F_{AC,\;per\;cilindre} =
\frac{704\,000}{2}
= \boxed{352\,000\;\text{N}}
\]
🧠 4. Càlcul de pressions
Cilindre AC
\[
A_{AC} = \frac{\pi(0.095)^2}{4} = 7.09\times10^{-3}\,\text{m}^2
\]
\[
p_{AC} =
\frac{352\,000}{7.09\times10^{-3}}
=
\boxed{49.6\;\text{MPa}}
\]
Cilindre DE
\[
A_{DE} = \frac{\pi(0.105)^2}{4} = 8.65\times10^{-3}\,\text{m}^2
\]
\[
p_{DE} =
\frac{159\,000}{8.65\times10^{-3}}
=
\boxed{18.4\;\text{MPa}}
\]
✅ RESULTATS FINALS
- Força cilindre AC (per cilindre): \( \boxed{352\;\text{kN}} \)
- Pressió cilindre AC: \( \boxed{49.6\;\text{MPa}} \)
- Força cilindre DE: \( \boxed{159\;\text{kN}} \)
- Pressió cilindre DE: \( \boxed{18.4\;\text{MPa}} \)