A continuació tens les solucions detallades dels 10 problemes. Les fórmules clau que fem servir són:
Problema 1 — Solució
Dades: \(L_0=0{,}80\ \mathrm{m}\), \(A=3{,}0\ \mathrm{cm}^2=3{,}0\times10^{-4}\ \mathrm{m}^2\), \(F=18\ \mathrm{kN}=18\times10^3\ \mathrm{N}\), \(\Delta L=0{,}40\ \mathrm{mm}=0{,}40\times10^{-3}\ \mathrm{m}\).
A partir de \(E=\dfrac{F L_0}{A\,\Delta L}\):
\[E=\frac{18\times10^3\cdot0{,}80}{3{,}0\times10^{-4}\cdot0{,}40\times10^{-3}}\ \mathrm{Pa}\]
Càlcul numèric:
\[E\approx 1{,}20\times10^{11}\ \mathrm{Pa}=120\ \mathrm{GPa}.\]
Resposta: \(E\approx120\ \mathrm{GPa}\).
Problema 2 — Solució
Dades: \(\varepsilon=1{,}2\times10^{-3}\), \(E=210\ \mathrm{GPa}=210\times10^9\ \mathrm{Pa}\).
Com \(\sigma=E\,\varepsilon\):
\[\sigma=210\times10^9\cdot1{,}2\times10^{-3}=2{,}52\times10^8\ \mathrm{Pa}=252\ \mathrm{MPa}.\]
Resposta: \(\sigma=252\ \mathrm{MPa}\).
Problema 3 — Solució
Dades: \(L_0=4{,}0\ \mathrm{m}\), \(d=1{,}6\ \mathrm{mm}=1{,}6\times10^{-3}\ \mathrm{m}\), \(F=260\ \mathrm{N}\), \(E=115\ \mathrm{GPa}=115\times10^9\ \mathrm{Pa}\).
Àrea del fil: \(A=\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2=\pi\left(0{,}8\times10^{-3}\right)^2\ \mathrm{m}^2\).
Allargament: \(\Delta L=\dfrac{F L_0}{A E}.\)
Substituint i resolent (resultats arrodonits):
\[\Delta L\approx 4{,}498\ \mathrm{mm}.\]
Resposta: \(\Delta L\approx4{,}50\ \mathrm{mm}\) (aprox.).
Problema 4 — Solució
Dades: \(L_0=3{,}0\ \mathrm{m}\), \(F=12\ \mathrm{kN}\), \(\Delta L_{\max}=0{,}80\ \mathrm{mm}=0{,}80\times10^{-3}\ \mathrm{m}\), \(E=69\ \mathrm{GPa}\).
Volem \(\Delta L\le\Delta L_{\max}\). Com \(\Delta L=\dfrac{F L_0}{A E}\), obtenim la necessitat d'una àrea mínima:
\[A_{\min}=\frac{F L_0}{E\,\Delta L_{\max}}.\]
Per a secció circular \(A=\dfrac{\pi d^2}{4}\), llavors
\[d_{\min}=\sqrt{\frac{4F L_0}{\pi E\,\Delta L_{\max}}}.\]
Càlcul numèric:
\[d_{\min}\approx28{,}82\ \mathrm{mm}.\]
Resposta: \(d_{\min}\approx28{,}8\ \mathrm{mm}\).
Problema 5 — Solució
Dades: \(E_A=90\ \mathrm{GPa},\ E_B=30\ \mathrm{GPa}\). Mateixa longitud i mateixa secció, mateixa força \(F\).
Com \(\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}\) i \(\sigma\) és igual per ambdues, la vareta amb menor \(E\) tindrà la major deformació unitaria.
Per tant, el material B (\(E_B=30\ \mathrm{GPa}\)) experiència la deformació més gran.
Relació:
\[\frac{\varepsilon_B}{\varepsilon_A}=\frac{E_A}{E_B}=\frac{90}{30}=3.\]
Resposta: (a) B. (b) \(\varepsilon_B/\varepsilon_A=3.\)
Problema 6 — Solució
Dades: \(L_0=60{,}0\ \mathrm{mm}\), \(\sigma=155\ \mathrm{MPa}\), \(L_f=60{,}090\ \mathrm{mm}\).
a) \(\Delta L=L_f-L_0=60{,}090-60{,}000=0{,}090\ \mathrm{mm}.\)
b) \(\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_0}=\dfrac{0{,}090}{60{,}0}=1{,}5\times10^{-3}.\)
c) \(E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}=\dfrac{155\times10^6}{1{,}5\times10^{-3}}\ \mathrm{Pa}\approx103{,}33\ \mathrm{GPa}.\)
Resum: (a) \(\Delta L=0{,}090\ \mathrm{mm}\). (b) \(\varepsilon=1{,}5\times10^{-3}\). (c) \(E\approx103{,}33\ \mathrm{GPa}\).
Problema 7 — Solució
Dades: \(E=32\ \mathrm{GPa}\), \(L_0=2{,}80\ \mathrm{m}\), secció quadrada costat \(0{,}40\ \mathrm{m}\Rightarrow A=0{,}16\ \mathrm{m}^2\), \(\Delta L= -0{,}35\ \mathrm{mm}\) (escurçament).
a) Deformació (valor absolut): \[\varepsilon=\frac{|\Delta L|}{L_0}=\frac{0{,}35\times10^{-3}}{2{,}80}=1{,}25\times10^{-4}.\]
b) Esforç: \(\sigma=E\varepsilon=32\times10^9\cdot1{,}25\times10^{-4}=4{,}0\times10^{6}\ \mathrm{Pa}=4\ \mathrm{MPa}.\)
c) Força: \(F=\sigma A=4{,}0\times10^{6}\cdot0{,}16=6{,}4\times10^{5}\ \mathrm{N}=640\ \mathrm{kN}.\)
Resum: (a) \(\varepsilon=1{,}25\times10^{-4}\). (b) \(\sigma=4\ \mathrm{MPa}\). (c) \(F=640\ \mathrm{kN}\).
Problema 8 — Solució
Dades: pendent linear \(=1{,}8\ \mathrm{GPa}\), per tant \(E=1{,}8\ \mathrm{GPa}\). Mostra amb \(A=40\ \mathrm{mm}^2=40\times10^{-6}\ \mathrm{m}^2\) i \(F=220\ \mathrm{N}\).
a) \(E=1{,}8\ \mathrm{GPa}\).
b) \(\sigma=\dfrac{F}{A}=\dfrac{220}{40\times10^{-6}}=5{,}50\times10^{6}\ \mathrm{Pa}=5{,}5\ \mathrm{MPa}.\)
Deformació: \(\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}=\dfrac{5{,}5\times10^{6}}{1{,}8\times10^{9}}\approx3{,}0556\times10^{-3}.\)
Resum: \(E=1{,}8\ \mathrm{GPa},\;\sigma=5{,}5\ \mathrm{MPa},\;\varepsilon\approx3{,}056\times10^{-3}.\)
Problema 9 — Solució (barres en sèrie)
Dades: \(E_1=200\ \mathrm{GPa},\ L_{01}=1{,}2\ \mathrm{m},\ d_1=18\ \mathrm{mm}\); \(E_2=70\ \mathrm{GPa},\ L_{02}=0{,}8\ \mathrm{m},\ d_2=18\ \mathrm{mm}\). \(F=25\ \mathrm{kN}\).
Àrea comuna (diàmetre 18 mm): \(A=\pi(0{,}009)^2\ \mathrm{m}^2\).
Allargaments individuals:
\[\Delta L_1=\frac{F L_{01}}{A E_1},\qquad\Delta L_2=\frac{F L_{02}}{A E_2}.\]
Càlculs (resultats aproximats):
\(\Delta L_1\approx0{,}589\ \mathrm{mm},\quad\Delta L_2\approx1{,}123\ \mathrm{mm}.\)
Allargament total: \(\Delta L_{\text{total}}\approx1{,}712\ \mathrm{mm}.\)
Deformació unitaria equivalent global:
\[\varepsilon_{\text{eq}}=\frac{\Delta L_{\text{total}}}{L_{01}+L_{02}}\approx8{,}56\times10^{-4}.\]
Si volem \(\Delta L_{\text{total}}\le1{,}2\ \mathrm{mm}\), la fòrmula inversa per a la força màxima és
\[F_{\max}=\frac{\Delta L_{\max}}{\dfrac{L_{01}}{A E_1}+\dfrac{L_{02}}{A E_2}}.\]
Càlcul dona \(F_{\max}\approx17{,}52\ \mathrm{kN}.\)
Resum: \(\Delta L_1\approx0{,}589\ \mathrm{mm},\;\Delta L_2\approx1{,}123\ \mathrm{mm},\;\Delta L_{\text{total}}\approx1{,}712\ \mathrm{mm},\;\varepsilon_{\text{eq}}\approx8{,}56\times10^{-4},\;F_{\max}\approx17{,}52\ \mathrm{kN}.\)
Problema 10 — Solució (disseny amb seguretat)
Dades: \(L_0=3{,}5\ \mathrm{m}\), \(E=210\ \mathrm{GPa}\), \(\sigma_{\text{adm}}=160\ \mathrm{MPa}\), \(\Delta L_{\max}=1{,}0\ \mathrm{mm}\).
a) Condicions en funció del diàmetre \(d\) i la força de servei \(F_{\text{serv}}\):
Condició d'esforç admissible:
\[\sigma=\frac{F_{\text{serv}}}{A}=\frac{F_{\text{serv}}}{\pi d^2/4}\le\sigma_{\text{adm}}\Rightarrow d\ge\sqrt{\frac{4F_{\text{serv}}}{\pi\sigma_{\text{adm}}}}.\]
Condició de limitació d'allargament:
\[\Delta L=\frac{F_{\text{serv}}L_0}{A E}\le\Delta L_{\max}\Rightarrow d\ge\sqrt{\frac{4F_{\text{serv}}L_0}{\pi E\,\Delta L_{\max}}}.\]
b) Per a \(F_{\text{serv}}=30\ \mathrm{kN}\): càlcul de les dues dianes mínimes:
Per límit d'esforç: \(d_{\sigma}\approx15{,}45\ \mathrm{mm}.\)
Per límit de deformació: \(d_{\varepsilon}\approx25{,}23\ \mathrm{mm}.\)
Per complir ambdues condicions cal prendre el valor major:
Diàmetre mínim requerit \(d_{\min}\approx25{,}23\ \mathrm{mm}.\)
c) La condició més restrictiva és la del llindar de deformació (allargament), ja que exigeix un diàmetre més gran que la condició d'esforç per al cas numèric donat.