Solució Pas a Pas

1. Circuit d'Alarma Contra Robatoris

Es dissenya una alarma per a un banc amb 4 entrades:

• A: Interruptor secret de control (A = 1 quan està tancat).
• B: Sensor de pressió de la caixa forta (B = 1 quan està en posició normal).
• C: Rellotge (C = 1 quan l'hora és entre les 10:00 i les 14:00).
• D: Interruptor de la porta de la caixa forta (D = 1 quan la porta està tancada).

La alarma (F = 1, timbre sonant) s’activa en qualsevol d’aquestes situacions:

1. La caixa es mou amb el control tancat:
   Com que la caixa es mou si B = 0 i el control està tancat (A = 1), la condició és:
   A · B
2. La caixa forta s'obre fora d'hores hàbils:
   Fora d'hores hàbils implica que el rellotge no marca entre les 10 i les 14 (C = 1) i, com que la caixa forta s'obre, la porta està oberta (D = 1). La condició és:
   C · D
3. La caixa forta s'obre amb el control obert:
   Aquí, la caixa forta està oberta (D = 1) i el control també està obert (A = 1), donant:
   A · D

Per evitar confusions, en aquesta representació els símbols s'interpreten així:
- La negació d'una variable X es mostra com X.
- El producte lògic s'indica amb ·.

La funció lògica resultant és:

F(A, B, C, D) = A · B + C · D + A · D
    

Construcció del Map de Karnaugh

Es numeraran els minterms corresponents. Tenim 4 variables (A, B, C, D) i utilitzarem l'ordre de Gray per les files i columnes:

• Files (AB): 00, 01, 11, 10.
• Columnes (CD): 00, 01, 11, 10.

Minterms inclosos en F:

• A · B: A = 1, B = 0, sense restricció sobre C i D → minterms: 8, 9, 10, 11.
• C · D: C = 0, D = 0, qualsevol A i B → minterms: 0, 4, 8, 12.
• A · D: A = 0, D = 0, qualsevol B i C → minterms: 0, 2, 4, 6.

La unió dels minterms és: 0, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12.

Taula del Karnaugh per l'Alarma:

AB \ CD	00	01	11	10
00	1	0	0	1
01	1	0	0	1
11	1	1	1	1
10	1	1	1	1

Explicació dels Grups:

•   Grup 1 (vermell): Totes les cel·les de la fila “10” corresponen a A · B (minterms 8, 9, 10, 11).
•   Grup 2 (verd): La columna “00” completa té cel·les on C = 0 i D = 0 (minterms 0, 4, 8, 12) corresponent a C · D.
•   Grup 3 (blau): Les cel·les de les primeres dues files en les columnes “00” i “10” (minterms 0, 2, 4, 6) corresponen a A · D.

D'aquesta forma, la simplificació amb els mapes de Karnaugh confirma la funció:
F(A, B, C, D) = A · B + C · D + A · D

2. Circuit de Votació Familiar per Triar el Restaurant

La família Pérez (on en Juan i la Maria són els pares i en José i la Susanna els fills) vota per triar entre:

• Hamburgueses (representat per 1)
• Pollastre (representat per 0)

Les regles són:

• Si els pares estan d'acord, el seu vot determina el resultat.
• Si no hi ha acord entre els pares, guanya la majoria (la suma dels 4 vots ha de ser majoritària).
• En cas d'empat, es tria pollastre (0).

Variables:

• A: vot d'en Juan.
• B: vot de la Maria.
• C: vot de l'en José.
• D: vot de la Susanna.

Una expressió lògica que compleix aquestes regles és:

F(A, B, C, D) = A · B + (A ⊕ B) · C · D
    

On:

• A · B cobreix el cas en què els pares estan d'acord (si voten hamburgueses, F = 1; si voten pollastre, F = 0).
• A ⊕ B (XOR) és 1 quan els pares estan en desacord.
• En cas de desacord, només si ambdós fills voten hamburgueses (C · D = 1) es decideix per hamburgueses (F = 1). En qualsevol altre cas, el resultat serà pollastre (0).

Construcció del Map de Karnaugh per la Votació

També s'utilitzen 4 variables (A, B, C, D) amb:

• Files (AB): 00, 01, 11, 10.
• Columnes (CD): 00, 01, 11, 10.

Minterms on F = 1:

• Term 1: A · B: Per A = 1 i B = 1 (sense restricció sobre C i D) → minterms: 12, 13, 14, 15.
• Term 2: (A ⊕ B) · C · D:
  - Per A = 0, B = 1, C = 1, D = 1 → minterm: 7.
  - Per A = 1, B = 0, C = 1, D = 1 → minterm: 11.

La unió dels minterms és: 7, 11, 12, 13, 14, 15.

Taula del Karnaugh per la Votació:

AB \ CD	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	0	0	1	0
11	1	1	1	1
10	0	0	1	0

Explicació dels Grups:

•   Grup 1 (vermell): Tota la fila “11” (A = 1, B = 1) representa el cas en què els pares estan d'acord (A · B).
•   Grup 2 (taronja): Les cel·les de la columna “11” a les files “01” i “10” corresponen als minterms 7 i 11, provinents de (A ⊕ B) · C · D.

Així, el mapa de Karnaugh confirma la funció:
F(A, B, C, D) = A · B + (A ⊕ B) · C · D